Venez nombreux ! :-)

Dans les années 90 des simulations numériques ont révélées des propriétés intéressantes dans les ensembles aléatoires d’instances de problèmes de satisfaction de contraintes (satisfiabilité, coloriage de graphes notamment). Quand un paramètre définissant l’ensemble aléatoire (le nombre de clauses par variables) augmente la probabilité de trouver une formule satisfiable chute abruptement de 1 à 0 dans la limite des grandes tailles de formule. Ce phénomène de seuil a été l’objet d’actives recherches en informatique et en probabilités. Par ailleurs des outils (non-rigoureux) de physique statistique ont pu être appliqués à ces problèmes. Un certain nombre de résultats ont émergé de ces études, par exemple des conjectures quantitatives sur la valeur du seuil de satisfiabilité, et une image plus précise de la structure de l’ensemble des solutions des formules satisfiables. D’autres résultats de physique statistique ont un aspect plus algorithmique, que ce soit l’analyse d’algorithmes déjà existants ou la suggestion de nouvelles stratégies pour résoudre ces formules aléatoires. Dans ce séminaire j’essaierai de présenter, sans rentrer dans les détails techniques, le cadre général de ces études et certains de ces résultats.

Historiquement, l’ADN et les protéines, aux deux extremités du dogme central de la biologie moléculaire, ont monopolisé l’attention des chercheurs en biologie, délaissant dans un premier temps l’ARN, confinée dans un rôle d’intermédiaire. Cependant, des études menées au cours de la dernière décennie sur les mécanismes de fonctionnement de ce polymère ont révélé une diversité de modes d’actions et un potentiel thérapeutique tels que deux prix Nobels ont été décernés à C. Mello/A. Z. Fire (Médecine 2006) et V. Ramakrishnan/T. A. Steitz/A. E. Yonath (Chimie 2009). À l’échelle nanométrique des interactions moléculaires, il est possible d’analyser la fonction des molécules à travers leur géométrie, ou conformation. Dans le cas de l’ARN, la conformation fonctionnelle d’un ARN résulte de phénomènes d’appariement entre des bases complémentaires, qui provoquent un repliement global de l’ARN. Par ailleurs, des contraintes stériques permettent bien souvent de limiter l’ensemble des conformations possible à des structures simples, les structures secondaires, dans lesquels les appariements considérés sont sans croisement. On assimile alors cet ensemble à un ensemble canonique "de Boltzmann", un des objets de base de la physique statistique, ce qui permet de définir une distribution de probabilité, dite de Boltzmann, sur l’ensemble des structures secondaires réalisables. L’ensemble des conformations d’un ARN est aussi assimilable à un objet combinatoire simple, analogue d’un arbre ou encore d’une séquence bien parenthésée, et pouvant être étudié grâce à l’arsenal de la combinatoire analytique. Après une introduction présentant les problématiques et challenge actuels de la bioinformatique de l’ARN, nous présenterons deux contributions à l’algorithmique des structures d’ARN, reposant sur une vision combinatoire de l’ensemble des conformations. La première consiste en une analyse et une amélioration d’un algorithme d’échantillonnage statistique pour la structure d’ARN. En se basant sur une analogie avec la génération aléatoire par la méthode dite récursive, nous pratiquons une analyse de la complexité moyenne de l’algorithme, et proposons une amélioration algorithmique basée sur un parcours "Boustrophedon" proposé par Flajolet/Zimmermann/Van Cutsem 1994. La deuxième application consiste en l’analyse d’une représentation hierarchique pour l’ensemble de Boltzmann, les RNA Shapes introduites par Giegerich/Voß/Rehmsmeier 2004.. Cette hierarchie de représentations compactes pour la structure d’ARN permet la mise en oeuvre d’approches modulaires pour l’analyse des repliements. Cependant, ces approches exigent parfois une énumération exhaustives des Shapes compatibles avec un ARN, provoquant ainsi une explosion combinatoire qu’il convient de quantifier. Pour cette raison, nous avons modélisé et énuméré celles-ci, obtenant des croissances asymptotiques en $\Theta(A^n/n^{3/2})$ pour ces représentations, avec A=1.8... (resp. A=1.3) pour la représentation la moins (resp. la plus) compacte, à comparer avec A=2.3 pour le nombre de structures secondaires de taille similaire.. Au passage, nous montrons (encore une...) bijection entre le niveau de représentation le plus compact et les mots de Motzkin. Les travaux sur les RNA-Shapes ont été menés en collaboration avec A. Lorenz et P. Clote (Boston College).

The Heisenberg-Weyl algebra, underlying most physical realizations of Quantum Theory, is considered from a combinatorial point of view. We construct a concrete model of the algebra in terms of graphs which endowed with intuitive concepts of composition and decomposition provide a rich bi-algebra structure.
It will be shown how this encompass the Heisenberg-Weyl algebra, thereby providing a straightforward interpretation of the latter as a shadow of natural constructions on graphs. We will also discuss some combinatorial methods suitable for this graphical calculus.

Renormalization of multiple zeta values for negative integers. Using Connes and Kreimer renormalization, we will show how to extend multpiple zeta functions to every complex argument so that the "quasi-abattage" relations are preserved. The values obtained for negative integers are rational. We will discuss a multi-dimensional analogue. Common work with Sylvie Paycha.

Dualité et séries formelles.
L'objectif de cet exposé est de montrer que, quelle que soit la topologie (séparée) de corps sur K, le dual (topologique, pour la topologie produit) de l'espace K^X des applications définies sur un ensemble X et à valeurs dans le corps K est isomorphe au sous-espace K^(X) des fonctions à support fini.
En particulier, ce résultat s'applique lorsque X est le monoïde commutatif libre sur une lettre x, où, dans ce cas, K^X n'est autre que l'ensemble des séries formelles K[[x]], et K^(X) celui des polynômes K[x].
Une conséquence de ce fait est que l'espace des endomorphismes continus (sous les hypothèses précédentes quant au choix des topologies) de K^X est isomorphe à l'espace des " matrices " dont les " lignes " sont à support fini.

Grammaires algébriques et asymptotique.
Nous verrons dans un premier temps comment étudier un "motif" dans un langage rationnel (=une grammaire linéaire) via la série génératrice associée à un automate. Nous donnerons une application au modèle de Schelling.
Nous verrons dans un deuxième temps les aspects asymptotiques des grammaires algébriques : Universalité du phénomène "1/ sqrt(Pi) n^3/2", pour finir sur les recherches en cours : que peut-il être dit au-delà du théorème de Drmota-Lalley-Woods.
Comme, au delà de la théorie, se cache un certain nombre de problèmes techniques, nous montrerons sur des exemples comment on peut utiliser les packages Maple algolib/combstruct/gfun de Salvy/Flajolet et al. pour faire effectivement les calculs asymptotiques, générer des structures, etc.

Sur le plongement du complété d'un espace normé dans son complété pour une autre norme.
Soit E un espace vectoriel muni de deux normes p et q comparables, i.e., quel que soit x, p(x) est inférieur ou égal à q(x). En dépit du fait que dans cette configuration toute suite de Cauchy pour q est une suite de Cauchy pour p, on ne peut rien dire en général des relations entre les complétés de E pour p et pour q.
Dans cet exposé, une condition nécessaire et suffisante pour laquelle le complété pour q se plonge continûment (et densément) dans le complété pour p est présentée.

Adjonction d'unité, aspect catégorique.
L'adjonction d'une unité à un semi-groupe pour constituer un monoïde, ou à un anneau pour en faire un anneau unitaire, dérive d'une construction générale, que je me propose d'exposer, dans le cadre des catégories monoïdales.
En effet, pour une catégorie monoïdale C donnée avec coproduits finis et telle que le tenseur se distribue sur le coproduit, cela résulte de l'existence d'un adjoint à gauche pour le foncteur d'oubli de la catégorie des monoïdes internes à C dans celle de ses semi-groupes internes.

I will introduce in this talk the main ingredients required to obtain a renormalizable model in quantum field theory.
After presenting the main ideas for commutative models, I will generalize this for noncommutative quantum field theory, where usual graphs are replaced by topologically richer ribbon graphs.

Distances in Noncommutative Geometry.
We shall give an overview of the metric aspect of Noncommutative Geometry, underlining the link between the distance formula in Connes' theory of spectral triple and other distances in mathematics, in particular:
- the horizontal distance in sub-riemannian geometry,
- the Wasserstein distance in the theory of optimal transport.
We will also propose several physical interpretation of this distance, regarding the Higgs field in the standard modelof elementary particles, or the distance in some model of quantum spacetimes.

The thermal time hypothesis: geometrical action of the modular group in conformal field theory with boundary.
After recalling the basis of the thermal time hypothesis of Connes and Rovelli (namely the idea that the physical flow of time is a state dependent notion, that can be retrieved from the modular group associated to the von Neumann algebra of local observables of the physical system under consideration), we present an explicit computation of the action of the modular group associated to double-cone regions of bi-dimensional Minkowski spacetime for a conformal field theory with boundary.
Starting from the covariance of the theory under the Möbius group, we show how to work out an ad-hoc state whose modular group has a pure geometrical action. We compute the Unruh temperature associated to one specific orbit. We then investigate the action of the modular group of the vacuum state, showing that it mixes the previous geometrical action with a nonlocal term. The latest mixes the components of the field in two light-like directions. From a mathematical point of view, it provides one of the first examples of an explicit computation of (the action of) the unitary cocycle intertwinning the modular group of different states on the same algebra.

On donne les notions de factorisation complète du monoïde libre et fait le lien avec les bases de Radford et leurs duales.
Si le temps le permet, on donnera le "principe d'identification locale" sur les mots de Lyndon.
Les preuves seront données et discutées complètement et les outils de preuve seront posés, détaillés et discutés interactivement en vue de la communication à différentes communautés.

We will illustrate the importance of von Neumann algebras in physics, emphasizing in particular their role in the algebraic formulation of quantum field theory.
We will illustrate by various examples how some characteristic properties of von Neumann algebra have a direct translation into properties of spacetime.

Étant donnée une trace définie sur l'algèbre d'Hecke du groupe symétrique Sn, la décomposition de t sur la base des caractères irréductibles fournit une mesure de probabilité sur l'ensemble Pn des partitions de taille n. Lorsque t est la trace régulière de Hq(Sn), ou plus généralement une trace de Markov, la mesure correspondante vérifie une loi des grands nombres et un théorème central limite pour la taille des lignes et des colonnes des partitions. Via l'algorithme RSK et la théorie des fonctions quasisymétriques, ces résultats peuvent être interprétés en termes de longueur des plus longs sous-mots croissants et décroissants de modèles de permutations aléatoires.

On illustre l'utilité du concept de réalisation et de spécialisation d'alphabet d'une algèbre (sur des alphabets commutatifs ou non, simplement ou doublement indexés) par une (longue) série d'exemples. Les premiers se rapportent aux compositions, aux arbres binaires et aux permutations et on termine, si le temps le permet, en présentant l'exemple le plus récent, celui de l'algèbre de Connes-Kreimer.

L'objet de cet exposé est de présenter NumGfun, un module Maple consacré à la manipulation « analytique » des solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux (fonctions dites D-finies ou holonomes). Les principales fonctionnalités de NumGfun concernent l'évaluation numérique des fonctions D-finies, et le calcul de bornes qui permettent de contrôler leur comportement. Je ferai une démonstration de l'utilisation de NumGfun, et je montrerai comment, à travers le calcul certifié de constantes de connection, il peut être utilisé pour étudier le comportement asymptotique de suites données par des séries génératrices D-finies.

We discuss two methods based on Wilf-Zeilberger summation for the computation of Feynman parameter integrals. For the first method, the integrals are rewritten as multisums over hypergeometric terms to fit the input class of WZ-summation. These summation problems are highly nested sums with non-standard boundary conditions. They satisfy inhomogeneous recurrences containing sums of lower nested depth on the right-hand sides. These last recurrences can be solved recursively by Carsten Schneider's Sigma package. Another approach to evaluate Feynman integrals is by representing them as nested Mellin-Barnes integrals. We show how WZ-methods determine recurrences for contour integrals of this type, thus eliminating the need to find sum representations. This algorithmic technique is also applied to prove typical entries from the Gradshteyn-Ryzhik table of integrals using the Mellin transform method.

Combinatorial aspects of renormalization in quantum field theory
In this talk, we will present the main ingredients of the BPHZ renormalization of quantum field theory. Then, we will see the situation of quantum field theory on noncommutative spaces.

Algebraic structures and C*-algebras
In this talk, we will introduce the basics of the theory of C*-algebras, which correspond to noncommutative topological spaces in the noncommutative geometry picture. Then, we will see the Hochschild cohomology as a generalization of the de Rham complex of differential forms, and some applications to physics.

"Combinatorial state sum invariants from categories"
'State sum models' are discrete functional path integrals. Using the combinatorics of the Pachner moves of the triangulation to convert a topological problem into an algebraic one, these models can be used to define manifold invariants and topological quantum field theories. Just as 3d state sum models, including quantum gravity, can be built using categories of group representations, 2-categories of 2-group representations may provide interesting state sum models for 4d quantum topology, if not quantum gravity. I will describe the construction of the first non-trivial example of a such models, based on the representations of a categorical version of the Euclidean group. I will show that this model shows up naturally in a combinatorial (state sum) reformulation of Feynman integrals for ordinary quantum field theories on 4d Euclidean spacetime.

"Aspects of group field theories"
Group field theories (GFT) provide a higher dimensional generalization of matrix models. Just as the Feynman graphs of matrix models are ribbon graphs dual to Riemann surfaces, the graphs of a D-dimensional GFT are D-stranded graphs dual to triangulated (pseudo)-manifolds. They provide a new and promising framework for the study of quantum gravity, including a sum over all topologies. I will describe several new aspects of these theories, including a dual formulation as non-commutative field theories, which provide important insights on their geometrical meaning.

The 1/N expansion in colored tensor models
Abstract: Matrix models are one of the most versatile tools in theoretical physics with applications ranging from the theory of strong interaction, to string theory, critical phenomena and two dimensional quantum gravity.
The versatility of matrix models is largely due to their topological 1/N expansion dominated by graphs with spherical topology. In higher dimensions matrix models generalize to tensor models. The ordinary tensor models are plagued by singularities and do not admit a meaningful 1/N expansion.
In this talk I will show that by adding an extra ingredient (a coloring of the fields) the tensor models become manageable and admit a 1/N expansion dominated by graphs with spherical topology in arbitrary dimension.

On montrera que l'algebre de Hopf de Connes et Kreimer, apparait de maniere naturelle comme construction d'algebre de Hopf provenant soit de l'operade preLie soit de l'operade NAP, que je definirais. Je donnerai d'autres exemples d'algebres de Hopf qui peuvent etre obtenus a partir de la theorie des operades.

On s'interesse ici a construire une bijection entre deux familles d'objets combinatoires : les ASMs et les TSSCPPs ou, selon Zeilberger, entre les triangles Gog et les triangles Magog. Jusqu'à présent, seule une bijection entre les trapèzes à une ligne était connue, et l'étape suivante, celle des trapèzes à deux lignes, semblait inaccessible. Nous proposons de résoudre ce problème grâce à l'utilisation d'un outil fondamental en combinatoire, l'involution de Schutzenberger. Cette construction laisse entrevoir la possibilité d'une solution complète du problème, en traitant les trapèzes à nombre arbitraire de lignes.

La renormalisation est l'un des outils fondamentaux de la théorie quantique des champs. En particulier, en électrodynamique quantique, on doit renormaliser la charge et la masse de l'électron.
Dans cet exposé je présenterai un modèle non linéaire simplifié, basé sur l'opérateur de Dirac et prenant en compte la polarisation du vide, pour lequel il est possible de réaliser complètement la renormalisation de charge. Il s'agit d'un résumé de travaux en collaboration avec Gravejat (Paris- Dauphine), Hainzl (Tuebingen, Allemagne), Séré (Paris-Dauphine) et Solovej (Copenhague).

I will introduce in this talk the combinatorial Connes-Kreimer Hopf algebra of Feynman graphs, celebrated structure known to encode the combinatorics of renormalization in quantum field theory (QFT). Hochschild cocyles (associated to some particular graphs) will then be defined; this allows to write down the combinatorial Dyson-Schwinger equations (recursive equations in power series written in terms of these Hochschild cocyles). It is worth emphasizing that the Dyson-Schwinger equations can play a crucial role in non-perturbative QFTs. Several explicit examples will be given to illustrate these various notions. Based on: http://arxiv.org/abs/0907.2182

The Jack superpolynomials are symmetric polynomials, involving commuting and anticommuting variables, that are orthogonal eigenfunctions of a certain integrable model known as the supersymmetric Calogero-Moser-Sutherland model.
We will discuss how the usual properties of the Jack polynomials can be extended to the Jack superpolynomial case. We will mainly focus on the fact that classes of Jack superpolynomials at special values of the coupling constant admit clusters of size at most k, that is, they vanish when k+1 variables are equal but not (conjecturally) when only k are identified (a sort of generalization of the Pauli exclusion principle).
We will also describe the connection between the super-Virasoro algebra and the vanishing of the Jack superpolynomials.

En algorithmique, on manipule très souvent des mots, notamment dans l'algorithmique du texte ; plus souvent encore, on manipule ce qu'on appelle communément des clés, notamment dans les algorithmes de tri ou de recherche, ou dans les bases de données. Dans une perspective plus réaliste, il faut vraiment considérer une clé comme une suite finie de symboles, c'est-à-dire comme un mot. On remplace alors le coût unitaire d'une comparaison entre deux clés par le coût de la comparaison entre deux mots, égal au nombre de symboles comparés. L'algorithmique générale devient alors de l'algorithmique du texte, et le processus qui produit les mots, appelé source, acquiert alors une grande importance.
Notre programme, décrit dans l'exposé, est donc le suivant :
1. Donner un sens à ce qu'on appelle une "source générale", opérer une classification des sources, en exhibant des sous-classes intéressantes, reliées notamment à des systèmes dynamiques.
2. Définir une série génératrice (de type Dirichlet) reliée canoniquement à la source et relier la classification des sources à la classification (analytique) de leurs séries de Dirichlet.
3. Exhiber une propriété importante de la source, appelée la "discipline", et, dans le cas des sources dynamiques, donner des conditions suffisantes qui entraînent la discipline.

The combinatorial solution to an autonomous differential equation y´=φ(y) was shown to be the family of increasing φ-enriched trees (Leroux-Viennot). We introduce a generalization of this kind of differential equations that uses the operation of shift-plethysm instead of usual substitution. Its solution is again a family of φ-enriched trees with labels that give information related to the length of each branch.

Cet exposé a pour but de présenter la factorisation de Schützenberger dans un cadre général. Nous présentons un théorème général qui permet de l'écrire dans le cas d'une algèbre de Lie quelconque et rappelons les outils nécessaires à sa formulation dans le cadre des structures partiellement commutatives. Nous terminerons en donnant quelques idées concernant des travaux en cours relatifs à l'aller-retour entre bases de PBW et de Radford.

On introduira le formalisme utilisé par Okounkov et Reshetikhin pour étudier les partitions planes aléatoires, basé sur une représentation de gl(∞). Après avoir expliqué comment calculer avec ce formalisme les statistiques locales pour ces objets, on présentera le phénomène de forme limite déterministe lorsque la taille de ces objets tend vers l'infini. On discutera en particulier l'influence de la forme du « mur du fond » sur lequel s'appuie la partition plane sur ces propriétés statistiques. Travail en collaboration avec S. Mkrtchyan, N. Reshetikhin et P. Tingley.

Références : A. Okounkov and N. Reshetikhin, Correlation function of Schur process with application to local geometry of a random 3-dimensional Young diagram math.CO/0107056, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), no. 3, 581–603.

notre article : arxiv.org/pdf/0912.3968

voir article ArXiV http://fr.arxiv.org/abs/1003.4847

Considérons un arbre binaire incomplet : chaque sommet à un fils droit et/ou un fils gauche. Attribuons à la racine l'abscisse 0, et au fils gauche (resp. droit) d'un sommet d'abscisse i l'abscisse i-1 (resp. i+1), comme il se doit.

On démontre une formule produit simple donnant le nombre d'arbres binaires ayant n_i sommets d'abscisse i pour tout i.

On la démontre, on l'adapte à d'autres familles d'arbres, et on la raffine, le tout bijectivement.

Ce travail est réalisé avec Guillaume Chapuy, et motivé par les liens entre les arbres étiquetés et les cartes d'une part, la mesure ISE d'autre part.

On part d'un opérateur montant M et d'un opérateur descendant D et on étudie le problème physique du "paquet de transfert" (l'ensemble des histoires qui mènent d'un niveau n au niveau n+k). La série génératrice de toutes ces histoires est un langage sur l'alphabet {M,D} qui se spécialise en des fractions continues doubles. D'autre part, l'histoire des réécritures d'une chaîne en M et D se retrouve dans les statistiques de placements de tours (rook numbers) sur des diagrammes de Ferrers qui donne très simplement les constantes de structures de HW. Ceci conduit aux HW-graphes et à leurs couplages qui à leur tour peuvent être déduits de la trace des calculs sur un centre infiniment engendré. Voir:

• Combinatorial Models of Creation-Annihilation Pawel Blasiak, Philippe Flajolet [http://arxiv.org/abs/1010.0354]
• Combinatorial Algebra for second-quantized Quantum Theory P. Blasiak, G. H. E. Duchamp, A. I. Solomon, A. Horzela, K. A. Penson [http://arxiv.org/abs/1001.4964]

We explore the notions of summability and multipliability as they are developed classically in analysis. We give examples in combinatorics where infinite products are supplied and, using the concept of https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Generalized_sequence we give a rigorous framework for these products. Also a contribution to F4M via the exponential formula.

We pursue our exploration of infinite products by examples of complete monoidal factorizations and applications to "Lie" groups which are classic in combinatorics (Riordan, Haussdorff). We construct the Faà di Bruno Hopf algebra through a very simple specialization of the exponential formula. This talk is meant to be a partial contribution to F4M sessions.

We continue our exploration of the combinatorics of groups.
Function spaces are used in order to dualize the product : typically the algebraic dual of the group algebra k[G] is the full function space k^G. In many cases, given a function φ∈ k^G, there exists no nice formula for φ(fg).
But, if we restrict φ to some subspaces, the expression of φ(fg) can be nicely split. Examples will be taken in : Faà di Bruno formula, Free group, Noncommutative Symmetric function. If time permits, we will treat some points of the theory of deformation and some combinatorial aspects of quantum groups.

On rappelle la construction des algèbres de Hopf MQSym et LDiag, puis on étudie le groupe de Lie du voisinage de l'unité pour la convolution dans ces algèbres. Une démonstration explicite du théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore à l'aide de ce groupe de Lie est possible en général, elle est donnée et on tente de dégager les premiers éléments de combinatoire qui en découlent pour ces algèbres de Hopf.

We tell the story of FQSym and its link to Combinatorial Physics through FQSym_q and MQSym.

Lorsque la structure tensorielle n'est pas déformée, on a tout un univers de déformations du shuffle par addition d'un terme de type Hofmann. Lorsque le coproduit associé à ce terme est dualisable, on obtient des bigèbres. On examine ici les théorèmes fondamentaux qui gouvernent les structures de ces bigèbres (travail en cours). Si le temps le permet, la séance sera suivie d'un entrainement au calcul tensoriel.

Many combinatorial Hopf algebras are positively graded in finite dimensions. This has a consequence on Hilbert series of (and in) these. For example, in FQSym, the Hilbert series of the cocommutative part could be computed and it was conjectured with some evidence that the primitive part was a free lie algebra. We give some hints on an ongoing work.

On explique la partie "catégories de modules" avec de possibles prolongements.

La théorie de la dualité de Tannaka est l'étude des interactions entre un groupe et la catégorie de ses représentations. Les premiers théorèmes de Krein et Tannaka se concentraient sur la question de la reconstruction d'un groupe compact à partir de ses représentations. On présentera quelques constructions catégoriques qui jouent un rôle important dans la présentation moderne de cette théorie "classique".

La théorie de la dualité de Tannaka est l'étude des interactions entre un groupe et la catégorie de ses représentations. Les premiers théorèmes de Krein et Tannaka se concentraient sur la question de la reconstruction d'un groupe compact à partir de ses représentations. On présentera quelques constructions catégoriques qui jouent un rôle important dans la présentation moderne de cette théorie "classique".

Les multizêtas sont les nombres définis par des sommes itérées sur les entiers strictement positifs, généralisant les valeurs de la fonction ζ de Riemann aux entiers supérieurs à 2. Ceux ci possèdent de nombreuses dénominations dans la littérature : polyzêtas, nombres d'Euler-Zagier, valeurs zêta multiples, sommes harmoniques multiples.... L'étude algébrique et arithmétique de ces nombres pourrait apparaître comme étant du folklore mathématique. Cependant, il n'en est rien : cette étude se trouve justifiée par l'apparition de ces nombres, depuis 30 ans, dans des domaines très variés et très actifs des mathématiques : théorie des nombres, groupes quantiques, diagrammes de Feynman, théorie de la résurgence, ...
Une généralisation fonctionnelle naturelle de ces nombres nous amène à considérer les ``multitangentes'' : il s'agit de fonctions méromorphes définies de manière analogue aux multizêtas, mais par des sommes itérées sur tous les entiers. Le but de l'exposé sera d'introduire les premières propriétés de ces fonctions, de montrer les liens profond entre multitangentes et multizêtas et de faire un état des lieux de ce que l'on sait faire et souhaite faire.
L'après midi sera consacré, en fonction des souhaits des auditeurs, à différents détails techniques, calculatoires ou combinatoires exposés le matin, à faire le point sur l'état d'avancement de certaines conjectures ou encore de généralisation elliptiques.

Les multizêtas sont les nombres définis par des sommes itérées sur les entiers strictement positifs, généralisant les valeurs de la fonction ζ de Riemann aux entiers supérieurs à 2. Ceux ci possèdent de nombreuses dénominations dans la littérature : polyzêtas, nombres d'Euler-Zagier, valeurs zêta multiples, sommes harmoniques multiples.... L'étude algébrique et arithmétique de ces nombres pourrait apparaître comme étant du folklore mathématique. Cependant, il n'en est rien : cette étude se trouve justifiée par l'apparition de ces nombres, depuis 30 ans, dans des domaines très variés et très actifs des mathématiques : théorie des nombres, groupes quantiques, diagrammes de Feynman, théorie de la résurgence, ...
Une généralisation fonctionnelle naturelle de ces nombres nous amène à considérer les ``multitangentes'' : il s'agit de fonctions méromorphes définies de manière analogue aux multizêtas, mais par des sommes itérées sur tous les entiers. Le but de l'exposé sera d'introduire les premières propriétés de ces fonctions, de montrer les liens profond entre multitangentes et multizêtas et de faire un état des lieux de ce que l'on sait faire et souhaite faire.
L'après midi sera consacré, en fonction des souhaits des auditeurs, à différents détails techniques, calculatoires ou combinatoires exposés le matin, à faire le point sur l'état d'avancement de certaines conjectures ou encore de généralisation elliptiques.

Le passage des polyzêtas de Riemann aux polyzêtas de Hurwitz colorés nécessite une déformation du stuffle au duflle puis au truffle. Dans cet exposé, nous suivons la trace de la déformation de l'algèbre de Hopf en précisant des calculs (et des algorithmes) de base concernant le logarithme, l'exponentielle, la détermination des éléments primitifs et de l'antipode.

Le passage des polyzêtas de Riemann aux polyzêtas de Hurwitz colorés nécessite une déformation du stuffle au duflle puis au truffle. Dans cet exposé, nous suivons la trace de la déformation de l'algèbre de Hopf en précisant des calculs (et des algorithmes) de base concernant le logarithme, l'exponentielle, la détermination des éléments primitifs et de l'antipode.

Les constantes de structure (ou coefficients de linéarisation) de certaines algèbres (comme les fonctions rationnelles nulles à l'infini) ont une riche combinatoire que nous nous proposons d'illustrer et de discuter sur quelques exemples.

Nous devons comprendre les aspects du théorème de CQMM préparatoires à l'implémentation. Cela passe par une phase d'analyse/conception des différentes réécritures qui lui sont liées.

Nous devons comprendre les aspects du théorème de CQMM préparatoires à l'implémentation. Cela passe par une phase d'analyse/conception des différentes réécritures qui lui sont liées.

Dans cet exposé, nous présentons un théorème relatif à un critère d'indépendance linéaire des coefficients d'une solution d'une équation différentielle non commutative. Ce théorème a pour conséquence l'indépendance linéaire des polylogarithmes et de leur généralisation, les hyperlogarithmes, sur des corps de fonctions. Dans la suite nous regardons à travers le miroir pour avoir des renseignements sur les dérivations.

In classical Lie groups, the product of one-parameter groups wrt any basis of the tangent Lie algebra provides an open mapping which gives at once a system of local coordinates. We discuss the transposition of this process to the Hausdorff (profinite) Lie group with several combinatorial alphabets.

The theoretical setting of his talk is based essentially on the paper - http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00193180/ - published in a workshop about Combinatorial Physics [1]. This setting was used to prove, with Christophe Reutenauer, a conjecture by Alain Connes [2]. We give new insights and applications of this concept.
[1] G.H.E. Duchamp and C. Tollu, Sweedler’s duals and Schützenberger’s calculus, In K. Ebrahimi-Fard, M. Marcolli and W. van Suijlekom (eds), Combinatorics and Physics, p. 67–78, Amer. Math. Soc. (Contemporary Mathematics, vol. 539), 2011.
[2] G. Duchamp, C. Reutenauer, Un critère de rationalité provenant de la géométrie non-commutative (à la mémoire de Schützenberger), Inventiones Mathematicae, 128, 613-622, (1997).

Le livre "Analytic Combinatorics" de Flajolet et Sedgewick propose un cadre agréable -- la Méthode Symbolique -- pour définir des classes d'objets combinatoires à partir de grammaires (systèmes combinatoires) semblables à celles de la théorie des langages. En se plaçant dans ce cadre, il est possible d'effectuer un certain nombre de traitements quasi-automatiques sur ces objets : manipulation de séries génératrices, génération aléatoire, analyse asymptotique, ... Cependant, lorsqu'il s'agit d'implanter de telles méthodes, il est nécessaire de se poser la question: comment savoir si un système combinatoire donné est "bien formé" ? Cette question nous a amenés à considérer une autre approche permettant de décrire des objets combinatoires : la théorie des espèces de structures. Bien qu'étudiées à des fins très différentes, ces deux approches présentent de nombreux points communs et permettent, lorsqu'elles sont associées, de fournir une base de travail solide pour l'automatisation d'un certain nombre de traitements combinatoires. Dans cet exposé, nous présenterons ces deux approches et nous décrirons les passerelles menant de l'une à l'autre, dans le but de caractériser les systèmes qui décrivent effectivement des structures combinatoires. Cette présentation est basée sur un travail en commun avec B. Salvy et M. Soria.

Using a quantum field theory renormalization group-like differential equation, we give a new proof of the recipe theorem for the Tutte polynomial for matroids. The solution of such an equation is in fact given by some appropriate characters of the Hopf algebra of isomorphic classes of matroids, characters which are then related to the Tutte polynomial for matroids.

In this talk I will introduce Grassmann variables and the basic rules of Grassmann-Berezin calculus. I will then show how we can use these tools to express Pfaffians and determinants and to derive various non-trivial identities in combinatorics and combinatorial physics (deletion/contraction relation for graph polynomial, Desnanot-Jacobi identities etc.).

This small account aims at presenting a project which deals with combinatorial aspects of Quantum Mechanics (or Physics).
This project brings together specialists in Mathematics, Informatics and Physics.
The general subjects are: Hopf algebras, representation theory, deformations, discrete operators and evolution equations.
Since the accomplishment of Connes and Kreimer, the Hopf algebras entered Physics as an efficient tool to solve or to render compact computation problems of composition and decomposition. As many of these Hopf algebras are defined by diagrams (the language of R. Feynman), the problem of implementing them in order to compute at a high order induces many fundamental questions (polynomial realizations, data structures, finite orbits, etc.). These are indeed the problems of (multiple) indexation which appear in ``special sums'' like MZV, EZS, Jack polynomials, MacDonald polynomials or in geometric problems like the combinatorial presentation of Schubert cycles, combinatorics of flag manifolds, or the computation and measure of entangled states.
Quantum Mechanics rests almost entirely on commutation relations (of Heisenberg-Weyl type or deformed) and on evolution equations which give new insights respectively for orthogonal polynomials and for exact solutions of Fokker-Planck or non-commutative evolution equations ($KZ_n$).
The strength of the project relies not only on its scientific unity but also on a well coordinated team scattered among several communities. The qualities and complementarity of the different centers will be commented throughout this small talk.

En lien avec les multizetas qui généralisent la fonction zeta de Riemann en plusieurs dimension, il existe deux autres familles apparentées et naturelles : les multizetas de Hurwitz et les multitangentes. Alors que les multizetas sont des nombres, les multizetas de Hurwitz et les multitangentes sont des fonctions méromorphes sur C.
Nous présenterons une vue d'ensemble des liens important unissant ces objets, des résultats connues et de ce que l'on peut espérer obtenir à terme.
Nous présenterons notamment les derniers résultats d'un travail en cours sur les multizetas de Hurwitz, à savoir leur indépendance linéaire sur le corps des fractions rationnelles.

Une algèbre A est localement semi-simple si c'est la limite inductive d'une chaîne d'algèbres semi-simples de dimension finie A_n. On associe à A un graphe gradué (appelé diagramme de Bratteli), qui se construit facilement à partir de la décomposition de chaque A_n en somme directe d'algèbres (pleine) de matrices. Les diagrammes de Bratteli jouent un rôle de premier plan dans la théorie algébrico-combinatoire des algèbres localement semi-simples. Je présenterai quelques résultats fondamentaux de cette théorie.

By using Kirillov's orbits method and Weyl-type quantization on the Heisenberg supergroup, we construct a non-formal deformation quantization of superspaces. We are led by the theory to introduce new notions such as Hilbert superspaces and C*-superalgebras. Then, a noncommutative superspace coming from this deformation yields an interpretation of the renormalizable quantum field theory with harmonic term on the Moyal space.

Cellular complexes are often used in physics as discretizations of spacetime. An interesting class of amplitudes associated to those complexes are topological invariants. I will present a simple model which relates an integral over some Lie group elements associated to the edges of the complex to the so called combinatorial, or Reidemeister torsion of the complex.

Le théorème (classique) de Cartier-Quillen-Milnor-Moore (CQMM) dit que, en caractéristique zéro, une bigèbre est l'algèbre enveloppante de ses éléments primitifs si et seulement si elle est filtrée positivement.
Dans le but de poursuivre l'étude de l'arithmétique de certaines fonctions spéciales, il est nécessaire d'étendre ce résultat aux situations où les éléments primitifs n'ont plus nécessairement de base.
Nous donnons une preuve nouvelle du théorème de CQMM classique utilisant la combinatoire des idempotents eulériens et les fonctions symétriques noncommutatives ainsi que des applications combinatoires récentes du CQMM.

Starting from a slightly more abstract definition of Hopf algebras as usual, we present a method towards solutions of universal constructions for Hopf algebras (as, e.g., existence of free and cofree ones). On doing so we propose the use of results of category theory, not just of categorical language.
The talk, however, will be non-technical in this respect. Only elementary knowledge of categorical language will be expected.

Une bien triste nouvelle, ce 19 octobre, Alain Lascoux nous a quitté. Formé comme un spécialiste de géométrie algébrique, puis collaborateur de Marcel-Paul Schützenberger, il avait consacré toute sa vie de chercheur à mettre au jour et à exploiter algorithmiquement les aspects combinatoires de certaines questions d'algèbre, de théorie des représentations et de géométrie. Plusieurs membres de l'équipe l'ont longuement côtoyé, à Jussieu, à Marne-la-Vallée ou pendant les réunions semestrielles du Séminaire Lotharingien de Combinatoire ; nous ne pouvons que dire que samedi dernier, la combinatoire algébrique a perdu un de ses maîtres, et avec lui un peu de ses couleurs et de son mordant. Nous dédions notre traditionnelle séance du séminaire de l'équipe CALIN (dont Alain fut l'un des parrains scientifiques) à sa mémoire.

We are focusing on the approach by noncommutative formal power series in order to study combinatorial aspects of the renormalization of solutions of nonlinear differential equations with three regular singularities involved in QED (quantum electrodynamics).

Soit S_w^(q) une base construite avec la même relation de récurrence et avec la même condition initiale que la base S_w. Soit P_w^(q) la base duale de la base S_w^(q). Nous allons montrer que cette q-déformation de la base de Poincaré-Birkhoff-Witt-Lyndon P_w^(q) est aussi multiplicative.

Using cluster transformations we design subtraction-free algorithms for computing Schur functions and their skew, double and supersymemtric analogues, for generating spanning trees and arborescences polynomials. The latter provides an exponential complexity gap between circuits admitting arithmetic operations +, x, / versus +, x. In addition, we establish an exponential complexity gap between circuits admitting +, -, x, / versus +, x, /. Together with V. Strassen's result on "Vermeidung von Divisionen" this closes a long-standing problem on comparative complexity power between all possible subsets of operations +, -, x, /. (joint work with S. Fomin and D. Grigoriev)

La repr\'esentation int\'egrale des polylogarithmes, pour $|z|<1$, $${\rm Li}_{s_1,\ldots,s_r}(z)=\sum_{n_1>\ldots>n_r}\frac{z^{n_1}}{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}},$$ permet de le prolonger analytiquement sur ${\mathbb C}^r$. Aux entiers n\'egatifs, ils sont devenus des fonctions rationnelles en $z$ $${\rm Li}_{-s_1,\ldots,-s_r}(z)=\sum_{n_1>\ldots>n_r} n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r} z^{n_1}\in{\mathbb C}[z,1/z,1/(1-z)]$$ dont le d\'eveloppement de Laurent, en $z=1$, conduisent aux poly-Bernoulli.

Les algèbres PSH sont des algèbres de Hopf (sur les rationnels ou les réels) autoduales qui ont une base pour laquelle les constantes de structures sont positives. Le premier exposé sera consacré à quelques résultats de structure, et le deuxième à l'usage que Zelevinsky a fait de ces algèbres en théorie des représentations.

Soit S_w^{(q)} une base construite avec la même relation de réccurence et avec la même condition iniatiale que la base S_w, mais en utilisant une déformation du shuffle. Soit P_w^{(q)} la base duale de la base S_w^{(q)}. Nous allons proposer une démonstration du fait que cette q-déformation de la base de Poincaré-Birkhoff-Witt-Lyndon P_w^{(q)} est aussi multiplicative.

Soit S_w^{(q)} une base construit avec la même relation de réccurence et avec la même condition iniatiale que la base S_w. Soit P_w^{(q)} la base duale de la base S_w^{(q)}. Nous allons montrer qu'une q-déformation de la base de Poincaré-Birkhoff-Witt-Lyndon P_w^{(q)} est aussi multiplicative. Cette deuxième séance sera consacrée à l'examen fin des stastistiques sur le groupe symétrique induite par la q-shuffle et au conditions suffisantes de multiplicativité des bases.

Les positroïdes sont des matroïdes qui sont liés à l'étude de la partie positive des variétés grassmanniennes. Ils sont depuis quelques années l'objet de nombreuses études, en combinatoire, en géométrie et même en physique. L'exposé retracera le chemin qui, des variétés grassmanniennes, a mené à leur définition. On commencera par de nombreux rappels et on s'appuiera surtout sur les travaux d'A. Postnikov.

Les positroïdes sont des matroïdes qui sont liés à l'étude de la partie positive des variétés grassmanniennes. Ils sont depuis quelques années l'objet de nombreuses études, en combinatoire, en géométrie et même en physique. L'exposé retracera le chemin qui, des variétés grassmanniennes, a mené à leur définition. On commencera par de nombreux rappels et on s'appuiera surtout sur les travaux d'A. Postnikov.

Les positroïdes sont des matroïdes qui sont liés à l'étude de la partie positive des variétés grassmanniennes. Ils sont depuis quelques années l'objet de nombreuses études, en combinatoire, en géométrie et même en physique. L'exposé retracera le chemin qui, des variétés grassmanniennes, a mené à leur définition. On commencera par de nombreux rappels et on s'appuiera surtout sur les travaux d'A. Postnikov.

Dans cet exposé (au tableau), je regarderai la série génératrice multivariée des fonctions croissantes sur un ensemble ordonné donné. Le but est de décrire combinatoirement (à l'aide des diagrammes de Hasse des ensembles ordonnés) les relations entre les séries formelles obtenues. Je vais d'abord présenter le travail fondamental de Stanley sur les P-partitions qui répond, en quelque sorte, à cette question. Je donnerai ensuite une seconde réponse, à l'aide de l'opération d'inclusion-exclusion cyclique que j'ai récemment introduite.

The AdS/CFT (anti-de Sitter/conformal field theory) quantum spectral curve is a tool for computing the conformal spectrum of a four-dimensional gauge theory, N=4 SYM, in the planar limit. This tool proved to be very efficient: we were able to get the explicit 10-loop perturbative results. The answer is expressed in terms of multiple zeta values. I will explain what the quantum spectral curve is and how the multiple zeta values emerge from it.

The AdS/CFT (anti-de Sitter/conformal field theory) quantum spectral curve is a tool for computing the conformal spectrum of a four-dimensional gauge theory, N=4 SYM, in the planar limit. This tool proved to be very efficient: we were able to get the explicit 10-loop perturbative results. The answer is expressed in terms of multiple zeta values. I will explain what the quantum spectral curve is and how the multiple zeta values emerge from it.

Algèbres de (Ringel-)Hall Suivi de : Échelles de comparaison et développements singuliers. Dans l’espoir de comprendre certains travaux récents de Berenstein et Rudel (« Quantum cluster characters of Hall algebras », arXiv:1308.2992 et « The Feigin tetrahedron », arXiv:1401.4338v2), en particulier la construction d’un homomorphisme, appelé « quantum shuffle character », entre le dual de l’algèbre de Ringel-Hall et l’algèbre de mélange quantique, j’étudierai l’algèbre de Ringel-Hall, en insistant sur sa structure d’algèbre de Hopf auto-duale. En deuxième partie est prévu un rapppel de ce que sont les échelles suivant des bases de filtres générales (voisinages, pointés, fendus, bases de filtre de Fréchet, complémentaires de points isolés etc...). On appliquera ces notions aux développements singuliers de P. Flajolet et A. Odlyzko. Une discussion générale sur les travaux en cours s'ensuivra.

Dans l’espoir de comprendre certains travaux récents de Berenstein et Rudel (« Quantum cluster characters of Hall algebras », arXiv:1308.2992 et « The Feigin tetrahedron », arXiv:1401.4338v2), en particulier la construction d’un homomorphisme, appelé « quantum shuffle character », entre le dual de l’algèbre de Ringel-Hall et l’algèbre de mélange quantique, j’étudierai l’algèbre de Ringel-Hall, en insistant sur sa structure d’algèbre de Hopf auto-duale.

Dans les années 1990, Schmitt a décrit un procédé qui permet d'associer à toute famille d'intervalles vérifiant certaines conditions une algèbre de Hopf, appelée algèbre de Hopf d'incidence. Une algèbre de Hopf d'incidence bien connue est celle associée aux posets de partitions, aussi connue sous le nom d'algèbre de Hopf de Faà Di Bruno. Après avoir rappelé les définitions nécessaires et présenté l'algèbre de Faà di Bruno, nous introduirons une algèbre de Hopf généralisant celle de Faà di Bruno : l'algèbre de Hopf d'incidence des partitions semi-pointées. [En fonction du temps qui me restera, j'évoquerai mes récents résultats en collaboration avec J.-C. Aval, Adrien Boussicault, P. Laborde-Zubieta et F. Hivert sur les arbres non ambigus. ]

In this talk, we start from two sources [i) The poly- and hyper-logarithms ii) the classic Dyson series] in order to develop the theory of noncommutative differential equations, giving a touch of Lie-theoretic insights to understand the interplay between orbits and coordinates which are - following Gelfand's paradigm - special functions. The talk(s) will be illustrated with concrete examples and explicit computations.

On the one hand, asymptotic expansions of harmonic sums are constructed by following the Euler-Maclaurin formula. On the other hand, due to relations among polylogarithms, polyzetas, harmonic sums and their generating series, which are the Lie exponentials in the shuffle and quasi shuffle algebras, we will show structure of polylogarithms and polyzetas. From this, asymptotic expansions of harmonic sums will also establish by following generating series.

This talk concerns the resolution of $KZ_3$ and our recent results on combinatorial aspects of zeta functions, $\{\zeta(s_1,\ldots,s_r)\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$. In particular, we describe the action of the differential Galois group of $KZ_3$ on the asymptotic expansions of its solutions leading to a group of associators which contains the associator $\Phi_{KZ}$. Non trivial expressions of an associator with rational coefficients is also explicitly provided, based on the algebraic structures and the singularity analysis of the polylogarithms, $\{{\rm Li}_{s_1,\ldots,s_r}\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$, and the harmonic sums, $\{H_{s_1,\ldots,s_r}\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$.

This talk concerns the resolution of $KZ_3$ and our recent results on combinatorial aspects of zeta functions, $\{\zeta(s_1,\ldots,s_r)\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$. In particular, we describe the action of the differential Galois group of $KZ_3$ on the asymptotic expansions of its solutions leading to a group of associators which contains the associator $\Phi_{KZ}$. Non trivial expressions of an associator with rational coefficients is also explicitly provided, based on the algebraic structures and the singularity analysis of the polylogarithms, $\{{\rm Li}_{s_1,\ldots,s_r}\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$, and the harmonic sums, $\{H_{s_1,\ldots,s_r}\}_{s_1,\ldots,s_r\in{\mathbb C}^r}$.

The polylogarithm map Li can be extended partly to some series. In this talk, we examine the algebra generated by the image of Li of a particular family of series that we call "Star of the plane". We discuss the basis of the algebra as a module and the characters of this algebra. We also prove the linear independence of the usual polylogarithms over this algebra.

In this talk, I will show tools and sketch proofs about Noncommutative Evolution Equations (in particular, preparing Hoang Ngoc Minh's talk about associators). Starting from the very simple setting of Noncommutative Formal Power Series with variable coefficients, we can explore in a compact and effective (in the sense of computability) way the Hausdorff group of Lie exponentials in particular the one linked to Hyperlogarithms (and then Polylogarithms) and show some multiplicative renormalisations (as those of Drinfeld). Some parts of this work are connected with Dyson series and take place within the project "Evolution Equations in Combinatorics and Physics".

I am going to talk about very popular combinatorial connection between ordinary and exponential generating functions which is called cycle index function. I am going to define the combinatorial species according to the book "Theory of Species" by Bergeron, Labelle, Leroux, and present their beautiful proof of the cycle index composition theorem. The proof relies on the theory of symmetric functions in infinitely many variables. This proof is a beautiful example of Grothendieck's concept: in order to prove something particular, one should make a more general statement and prove it.

I am going to talk about very popular combinatorial connection between ordinary and exponential generating functions which is called cycle index function. I am going to define the combinatorial species according to the book "Theory of Species" by Bergeron, Labelle, Leroux, and present their beautiful proof of the cycle index composition theorem. The proof relies on the theory of symmetric functions in infinitely many variables. This proof is a beautiful example of Grothendieck's concept: in order to prove something particular, one should make a more general statement and prove it.

I am going to talk about very popular combinatorial connection between ordinary and exponential generating functions which is called cycle index function. I am going to define the combinatorial species according to the book "Theory of Species" by Bergeron, Labelle, Leroux, and present their beautiful proof of the cycle index composition theorem. The proof relies on the theory of symmetric functions in infinitely many variables. This proof is a beautiful example of Grothendieck's concept: in order to prove something particular, one should make a more general statement and prove it.

Après un rappel sur les circuits arithmétiques et le problème de Valiant (VP vs VNP), je présenterai quelques résultats récents sur la "complexité déterminantale" du permanent, puis montrerai comment la version purement algébrique du problème VP vs VNP se prête à une reformulation en termes de géométrie des orbites du déterminant et du permanent (pour l'action d'un groupe algébrique sur les polynômes homogènes). Plusieurs ingrédients de base du programme de théorie géométrique de la complexité de Mulmuley et Sohoni seront présentés au cours de l'exposé bien que celui-ci ne soit pas "A crash course on Geometric Complexity Theory

La théorie géométrique de la complexité (GCT) est un programme de recherche lancé par K. Mulmuley et M. Sohoni aux alentours de 2000 pour attaquer la variante algébrique, due à L. Valiant, de la conjecture centrale de la théorie de la complexité, l'hypothèse de Cook $P \neq NP$. Ce programme substitue aux hypothèses de Cook et de Valiant une conjecture de nature géométrique, à laquelle les formidables outils de la géométrie algébrique et de la théorie des représentations peuvent être appliqués. Dans l'esprit de ses promoteurs, la GCT avait aussi pour but de permettre de démontrer l'existence de minorants de complexité ("lower bounds" en franglais) par la production effective de témoins. Dans ce mini-tutoriel sur la GCT, je présenterai le programme initial de Mulmuley-Sohoni, quelques-uns des développements récents et des obstacles qui sont apparus dans sa réalisation. Aucune compétence particulière en géométrie ou en théorie des représentations n'est requise des participants.

La théorie géométrique de la complexité (GCT) est un programme de recherche lancé par K. Mulmuley et M. Sohoni aux alentours de 2000 pour attaquer la variante algébrique, due à L. Valiant, de la conjecture centrale de la théorie de la complexité, l'hypothèse de Cook $P \neq NP$. Ce programme substitue aux hypothèses de Cook et de Valiant une conjecture de nature géométrique, à laquelle les formidables outils de la géométrie algébrique et de la théorie des représentations peuvent être appliqués. Dans l'esprit de ses promoteurs, la GCT avait aussi pour but de permettre de démontrer l'existence de minorants de complexité ("lower bounds" en franglais) par la production effective de témoins. Dans ce mini-tutoriel sur la GCT, je présenterai le programme initial de Mulmuley-Sohoni, quelques-uns des développements récents et des obstacles qui sont apparus dans sa réalisation. Aucune compétence particulière en géométrie ou en théorie des représentations n'est requise des participants.

Research on Kronecker coefficients and plethysms gained significant momentum when the topics were connected to geometric complexity theory, an approach towards computational complexity lower bounds via algebraic geometry and representation theory. Both types of coefficients appear independently in R. Stanley's list of "Positivity problems and conjectures in algebraic combinatorics". This talk is about a result that was obtained with geometric complexity theory as motivation, namely an inequality between rectangular Kronecker coefficients and plethysm coefficients. The proof interestingly uses insights from algebraic complexity theory. As far as we are aware, algebraic complexity theory has never been used before to prove an inequality between representation theoretic multiplicities. This is joint work with Greta Panova (Rectangular Kronecker coefficients and plethysms in geometric complexity theory, Adv Math 2017).

Étant donné un nombre premier p, on trouve en particulier des congruences modulo des puissances de p pour les nombres de Stirling et les nombres harmoniques généralisés en utilisant des techniques p-adiques. On généralise aussi indépendamment du mathématicien Z-H Sun (des nombres premiers) un résultat de Glaisher datant de 1900 sur le théorème de Wilson modulo p^2 au rang p^3.

We are constructing the first steps of a noncommutative Picard-Vessiot theory and we illustrate this theory in the study of independences of a new family of Gamma functions.

The question of extension of (partially defined) operators is ubiquitous in mathematics, physics and computer science. We will deal with it in general and questions of renormalisation and regularisation of polyzetas, in particular

• Algebraic independence of certain conc-characters ("Stars of the Plane").
• Enlargement of indexations from polynomials to series (especially those who allow a "calculus" i.e. rational ones).
• Downsampling Wrench's formula.

References

1. In SLC 74 :
   Van Chien Bui, Gérard H.E. Duchamp, Quoc Huan Ngô, Vincel Hoang Ngoc Minh and Christophe Tollu, (Pure) Transcendence Bases in φ-Deformed Shuffle Bialgebras (22 pp.), SLC 74
2. G. H. E. Duchamp and C. Tollu, Sweedler's duals and Schützenberger's calculus , In K. Ebrahimi-Fard, M. Marcolli and W. van Suijlekom (eds), Combinatorics and Physics, p. 67 - 78, Amer. Math. Soc. (Contemporary Mathematics, vol.~539), 2011.
3. https://mathoverflow.net/questions/310354/independence-of-characters-with-respect-to-polynomials
4. G.H.E. Duchamp, Ngo Quoc Hoan, Hoang Ngoc Minh, Kleene stars of the plane, polylogarithms and symmetries, TCS, 800, 2019, 52-72,
   DOI: 10.1016/j.tcs.2019.10.016

The question of extension of (partially defined) operators is ubiquitous in mathematics, physics and computer science. We will deal with it in general and questions of renormalisation and regularisation of polyzetas, in particular

• Algebraic independence of certain conc-characters ("Stars of the Plane").
• Enlargement of indexations from polynomials to series (especially those who allow a "calculus" i.e. rational ones).
• Downsampling Wrench's formula.

References

1. In SLC 74 :
   Van Chien Bui, Gérard H.E. Duchamp, Quoc Huan Ngô, Vincel Hoang Ngoc Minh and Christophe Tollu, (Pure) Transcendence Bases in φ-Deformed Shuffle Bialgebras (22 pp.), SLC 74
2. G. H. E. Duchamp and C. Tollu, Sweedler's duals and Schützenberger's calculus , In K. Ebrahimi-Fard, M. Marcolli and W. van Suijlekom (eds), Combinatorics and Physics, p. 67 - 78, Amer. Math. Soc. (Contemporary Mathematics, vol.~539), 2011.
3. https://mathoverflow.net/questions/310354/independence-of-characters-with-respect-to-polynomials
4. G.H.E. Duchamp, Ngo Quoc Hoan, Hoang Ngoc Minh, Kleene stars of the plane, polylogarithms and symmetries, TCS, 800, 2019, 52-72,
   DOI: 10.1016/j.tcs.2019.10.016

The question of extension of (partially defined) operators is ubiquitous in mathematics, physics and computer science. Here, after having dealt with it in general, we explicit concrete computations illustrating cases of unconditional and conditional convergences. This talk provides a collection of techniques coming from Mathematics, Computer Science and Arithmetics.

1. We to recall some of the facts about conc-characters ("Stars of the Plane") and the enlargement of indexations from polynomials to series (especially those who allow a "calculus" i.e. rational ones), from elements to shuffle and stuffle subalgebras.
2. Nuclearity of Hardy spaces
3. Examples of unconditional convergence, partition of indices for the transform of $\frac{log(1+x_0)}{x_0}x_1$ and handling of the "magic identity".

References

1. In SLC 74 :
   Van Chien Bui, Gérard H.E. Duchamp, Quoc Huan Ngô, Vincel Hoang Ngoc Minh and Christophe Tollu, (Pure) Transcendence Bases in φ-Deformed Shuffle Bialgebras (22 pp.), SLC 74
2. G. H. E. Duchamp and C. Tollu, Sweedler's duals and Schützenberger's calculus , In K. Ebrahimi-Fard, M. Marcolli and W. van Suijlekom (eds), Combinatorics and Physics, p. 67 - 78, Amer. Math. Soc. (Contemporary Mathematics, vol.~539), 2011.
3. https://mathoverflow.net/questions/310354/independence-of-characters-with-respect-to-polynomials
4. G.H.E. Duchamp, Ngo Quoc Hoan, Hoang Ngoc Minh, Kleene stars of the plane, polylogarithms and symmetries, TCS, 800, 2019, 52-72,
   DOI: 10.1016/j.tcs.2019.10.016

In this talk, we consider the normal ordering of operators of the type $$ \Omega=\sum_{\alpha+\beta=r}c_{\alpha,\beta}(a^+)^\alpha a(a^+)^\beta,\ \ \alpha,\beta,r\textrm{ integers} $$ where $a$ (resp. $a^{+}$) is a boson annihilation (resp. creation) operator; these satisfy $[a,a^{+}]\equiv a a^{+}-a^{+}a=1$, and for the purposes of this presentation may be thought of as $a\equiv d/dx$ and $a^{+}\equiv x$. We discuss the integration of the one-parameter groups $e^{\lambda\Omega}$ and their combinatorial by-products. In particular we show how these groups can be realized as groups of substitutions with prefactor functions. To end with, we provide a recent application of the concept one-parameter groups to arithmetics.

After having recalled and proved the set of "marvelous identities" evoked last week through an Umbral coding of "the plane", we construct, after Minh's work, a regularized character of the stuffle algebra which transports, point-by-point the Hausdorff group of the stuffle algebra. We provide as well the $q$-analogue and set some open questions.

We will discuss ribbon graphs and their topological polynomial invariant that generalizes the famous Tutte polynomial and that is called the Bollobas-Riordan (BR) polynomial. After giving the definition of ribbon graphs and discussing their correspondence with signed rotation systems, we will inspect the main topological properties of ribbon graphs seen as surfaces with boundaries. We will then introduce the BR topological polynomial invariant that satisfies a contraction-deletion recursion relation in a similar way of the Tutte polynomial. If the time allows it, we may give a glimpse of the proof of the universality theorem for the BR polynomial.

Plan

1. Introduction : un problème universel
   1. Exemples de structures libres comme solutions de problèmes universels
   2. L'algèbre $\frak{h} = K \langle X\rangle$ sur l'alphabet $X = \{0,1\}$, et ses deux sous-algèbres $\frak{h}^1$ et $\frak{h}^2$
2. Structure d'algèbres de shuffle et de stuffle, intégrales itérées des polylogs
3. Algèbres harmoniques, algèbre des séries formelles sur $X$ : $K\langle \! \langle X\rangle \! \rangle$ et algèbre des séries rationnelles.

Euler's reflection identity between inverse Gamma functions (with center zero) suggest that there are symmetrisation procedures that amount to the lacunarization of the exponents in exponentials. We start from, precisely, the lacunarization of the exponent in the Eulerian identity $$ \dfrac1{\Gamma(1+z)} =\exp\biggl(\gamma z-\sum_{n\ge2}\zeta(n)(-z)^n/n\biggr) $$ and obtain, of course, a family of new entire function (with real coefficients).
What is surprising, is that these "new" entire functions are the images of algebraically independent characters of the stuffle algebra. Algebraic independence of the characters is obtained via general theorems like Radford's lemma on characters, "Kleene stars of the plane" phenomena and the Lie-theoretic setting of the BTT (basic triangle theorem).

The seminar is thought as interactive and a walk along a route through (Hopf) algebra(s), complex analysis, functional analysis and combinatorics on words.

La théorie des produits infinis classiques s'inscrit naturellement dans celle des anneaux topologiques. Nous verrons en effet plusieurs exemples de convergences utilisés en combinatoire. Puis quelques produits classiques seront passés en revue

• Weierstrass
• Newton-Girard
• Produits unipotents
• Factorisation MRS

La théorie des produits infinis classiques s'inscrit naturellement dans celle des anneaux topologiques. Nous verrons en effet plusieurs exemples de convergences utilisés en combinatoire. Puis quelques produits classiques seront passés en revue

• Weierstrass
• Newton-Girard
• Produits unipotents
• Factorisation MRS

Nous revoyons ensemble les étapes essentielles établissant l'équation faisant le pont entre les structures algébriques des polyzêtas convergent, via leur séries génératrices non commutatives mises sous forme factorisée MRS.

Nous revoyons ensemble les étapes essentielles établissant l'équation faisant le pont entre les structures algébriques des polyzêtas convergent, via leur séries génératrices non commutatives mises sous forme factorisée MRS.

We present some bialgebras and their monoid of characters. We entend the well-known theorem (when the scalars form a field) about linear independence of characters to the case of some rings. Examples of algebraic independence of subfamilies and identites derived from their groups (or monoids) of characters are provided. In this framework, we give a way to factorise characters (the MRS factorisation) as a resolution of unity as well as combinatorial counterparts of this resolution in terms of bases in duality.
Joint work with Darij Grinberg (Drexel University, Philadelphia, US / currently Germany) and Hoang Ngoc Minh (LIPN, Paris XIII University)

Nous revoyons ensemble les étapes essentielles établissant l'équation faisant le pont entre les structures algébriques des polyzêtas convergent, via leur séries génératrices non commutatives mises sous forme factorisée MRS.

We present some bialgebras and their monoid of characters. We entend the well-known theorem (when the scalars form a field) about linear independence of characters to the case of some rings. Examples of algebraic independence of subfamilies and identites derived from their groups (or monoids) of characters are provided. In this framework, we give a way to factorise characters (the MRS factorisation) as a resolution of unity as well as combinatorial counterparts of this resolution in terms of bases in duality.
Joint work with Darij Grinberg (Drexel University, Philadelphia, US / currently Germany) and Hoang Ngoc Minh (LIPN, Paris XIII University)

Nous revoyons ensemble les étapes essentielles établissant l'équation faisant le pont entre les structures algébriques des polyzêtas convergent, via leur séries génératrices non commutatives mises sous forme factorisée MRS.

Building upon the rule-algebraic stochastic mechanics framework, I will present a new approach to computing multi-variate generating function expressions in combinatorics. This approach is applicable for combinatorial structures which can be described as some initial configuration together with a generator (ideally uniform) whose repeated applications render the structures of increasing sizes. Unlike in species theory, computations in this approach are based upon the notion of rewriting rules, their sequential compositions and the so-called rule algebras (which encode information on the combinatorics of sequences of rewriting steps). I will introduce a computational strategy for determining multi-variate generating functions describing joint distributions of pattern counts in a species, namely via a form of ODE system obtained from the computation of certain commutators (of rules in the generator with rules implementing pattern counts). Some concrete results for the species of planar rooted binary trees will be presented for illustration. I will put a particular emphasis on an interesting open problem which concerns the existence of the aforementioned type of combinatorial evolution equations as seen in the planar rooted binary trees example. Reference: Nicolas Behr (2021). “On Stochastic Rewriting and Combinatorics via Rule-Algebraic Methods”. Invited Paper in Patrick Bahr (ed.): Proceedings 11th International Workshop on Computing with Terms and Graphs (TERMGRAPH 2020), Online, 5th July 2020, Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science 334, pp. 11–28. http://eptcs.web.cse.unsw.edu.au/paper.cgi?TERMGRAPH2020.2

Semi-direct products can be seen as solutions of universal problems (see Andreas Thom's answer in MO96078 [1]) by means of ``structures acting on structures''. On the other hand Lazard's elimination theorems (Lie groups, Lie algebras and monoids) can be thought as byproducts of ``alphabets acting on codes''.
In this talk, we will illustrate (and prove some lemmas) about the tight link between these two concepts.

[1] MO96078: Are semidirect products categorical-colimits ?
https://mathoverflow.net/questions/96078

In this talk, we present a solution of KZ(3) in K3^Id and then asymptotic solutions of KZ(4). We also review some important problems of iterated integrals and Chen series over a simply connected manifold. This paves the way for finding all solutions of KZ(n), for n>2. PS: Voici un lien expliquant certains aspects des équations KZ : https://en.wikipedia.org/wiki/Knizhnik-Zamolodchikov_equations

Titre : Déterminant : combinatoire, complexité et variantes.
Intention : L'accent sera mis sur les caractérisations combinatoires du déterminant et leur utilisation pour obtenir de bonnes bornes de complexité ; tout le matériel sera réutilisé dans les séances suivantes.

After a brief overview of recent advances in 2d quantum gravity related to JT gravity, we will suggest a different approach that relies on self-overlapping curves.
We will then present some algorithmic and combinatorial properties of those curves.

Puisque la réductibilité d'une matrice M se traduit à la fois en termes de conjugaison avec une matrice contenant un bloc nul et en termes de positivité de ses puissances, il a paru intéressant d'étudier la présence et la persistance de termes nuls (les zéros) dans les différentes puissances de M.

On apprendra que les zéros d'une matrice non-négatives se diversifient en trois catégories, que la présence de zéros "permanents" est équivalente à la réductivité et possède une traduction "visuelle" simple, on en déduira une caractérisation originale des matrices réductibles, un algorithme élémentaire de réduction dans le cas non-négatif.