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Collaborations :
F. Arandiga, J.-F.
Aujol, A. Cohen,
R. Donat, N. Dyn,
M. Kaaniche, S.
Meignen, A.
Molkaroui, B.
Thai, A. Zakharova.
Dans le domaine du
traitement d'images, les
dernières
décennies sont
marquées par une
évolution
très nette des
méthodes
mathématiques
utilisées pour
résoudre ces
problèmes que
l’on peut résumer
ainsi :
- les opérations
linéaires qui
traitent l’image de
façon uniforme
ont fait place à
des opérations
non-linéaires
plus performantes et qui
traitent l’image de
façon adaptative.
Le besoin
d’adaptativité en
traitement
d’image est
évident d’un
point de vue intuitif :
lorsque l’on regarde une
image réelle, on
constate que
l’intensité
lumineuse varie de
façon
régulière
(avec des fluctuations
liées aux
textures) dans les zones
homogènes
correspondant aux
différents
objets, et
présente des
courbes de
discontinuité
associées aux
contours
délimitant ces
objets. Notons que les
contours
définissent des
traits qui
caractérisent
naturellement l’image
d’une manière
optimale et une fois
observés les
contours de l’image nous
avons une bonne
approximation de l’image
de départ.
Une bonne méthode
de traitement devra
intégrer ce
caractère
globalement
inhomogène de
l’image par un
traitement adapté
des contours et des
zones homogènes.
Afin d’aller au
delà de cette
simple intuition, il est
aussi nécessaire
de donner un sens
mathématique
précis à
cette
inhomogénéité
spatiale.
L’évolution des
méthodes peut
ainsi être mise en
parallèle avec
une évolution de
la modélisation
des images tant du point
de vue
déterministe
qu’aléatoire :
dans le premier cadre on
a ainsi cherché
des espaces fonctionnels
exprimant au mieux
l’idée d’une
régularité
par morceaux
plutôt
qu’uniforme, et dans le
second on s’est
dirigé vers des
modèles
non-gaussiens.
Dans ce contexte, j'ai
commencé à
d’étudier des
représentations
hiérarchiques
non-linéaires
en plusieurs dimension
(avec des application en
traitement
d’images)
qui détectent les
singularités et
s’adaptent en
présence de
celles-ci. L'apport
principal a
été
l’introduction des
outils
nécessaires
à la
détection
précise de
singularité et
à l’analyse de la
stabilité de ces
représentations
dans ce contexte
non-linéaire.
Après la
thèse, j'ai
traité le cas
multidimensionnel et
non-séparable, en
étudiant
plusieurs
opérateurs
multidimensionnels qui
ne sont pas obtenu
par le produit tensoriel
des opérateurs
monodimensionnels.
Notons que la
détection de
singularités
isolées joue un
rôle essentiel
aussi dans l’analyse de
données en
très grande
dimension car ces
singularités
déterminent les
frontières
inter-clusters.
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