Collaborations
: J. Aantezana,
E. Agora, Y. Bennani,
C. Cabrelli, et Yves
Meyer.
En analyse de
données nous
pouvons avoir des
observations
mesurées soit
en temps, soit en
espace avec des pas
d’échantillonnage
variables. Ces
données
échantillonnées
de manière
irrégulière
apparaissent
naturellement dans de
nombreux
domaines
d’application,
notamment la biologie,
l’écologie, la
climatologie,
l’astronomie, la
géologie, la
finance et la
santé.
L’exemple type
étant celui des
données de
séries
chronologiques.
Un premier
problème
posé par ce
type de données
évolutives est
leurs
modélisation.
Il s’agit ici de
déterminer quel
est le modèle
le plus
approprié pour
représenter des
données
observées avec
un pas d’observation
en temps ou en espace
variable.
Une autre source de la
variabilité de
l’échantillonnage
est du au fait que
différents cas
de données sont
susceptibles
d’inclure
différents
nombres
d’observations. Nous
pouvons donc avoir des
observations dont la
dimensionnalité
peut être
différente pour
différents cas
de données.
Par exemple dans la
même
série
chronologique
multivariée on
peut avoir à la
fois un manque
d’alignement temporel
entre
les données
observées et
aussi avoir des
observations vivant
dans des espace de
dimension
différente. Il
en résulte un
manque
d’alignement des
points temporels
d’observation sur
des différentes
dimensions.
Dans ce
contexte j’ai
commencé une
riche collaboration
scientifique avec Y.
Meyer. C’est
ainsi qu’un nouveau
chapitre de recherche
est entré dans
ma vie scientifique.
Ce chapitre est
l’échantillonnage
irrégulier des
fonctions en
très grande
dimension. Nous avons
étudié
dans ce contexte les
propriétés
d’échantillonnage
de certains ensembles
de points
appelés
« quasi-cristaux »
en 1984 par D.
Shechtman, gagnant du
Prix Nobel de Chimie
en 2011 ou encore
appelés
« ensemble
modèles »
par Y. Meyer dans les
années 70. Ces
ensembles de points
généralisent
les réseaux,
mais ne sont pas des
ensembles
aléatoires. Les
quasi-cristaux sont
définis d’une
manière simple
par la méthode
« coupe et
projection ».
Nous avons
établis
quelques
propriétés
remarquables de
quasi-cristaux. Non
seulement ils sont des
ensembles
d’échantillonnage
stable, au sense
définit par H.
Landau en 1967, pour
des fonctions bande
limités
généralisées,
mais aussi des
ensembles
d’échantillonnage
universels au sense
défini par A.
Olevskii. Grosso
modo, en
utilisant
l’échantillonnage
d’une fonction sur un
quasi-cristal permet
la reconstruction
exacte de celle ci
à partir d’une
information
réduite sur son
spectre.
Mieux encore,
j’ai
démontré
que la reconstruction
exacte des mesures
positives et
périodiques,
dont le support
(inconnu) est un
ensemble fini de
points, est possible
à condition
d’utiliser un
quasi-cristal simple
suffisamment dense.
D'une part les outils
pour établir ce
résultat sont
différents de
ceux utilisés
précédement
et d'autre part
l'intérêt
de ce résultat
consiste dans sa
directe utilisation
dans des applications
pratiques.
Les
résultats
obtenus sont d’une
part une
généralisation
en dimension infinie
déterministe
possible du
« compressed
sensing »
de E.
Candès et
d’autre part peuvent
être vu comme
une generalisation du
principe de
l’incertitude
démontré
par T. Tao.
Toujours sur
ce même
problème G.
Pfander
s'intéresse
à l'échantillonnage
des opérateurs,
qui a son
origine dans les
résultats de T.
Kailath au
début des
années 1960. T. Kailath a
établi
critères de
mesurabilité
des canaux de
transmission
variant dans le temps,
c'est-à-dire
des critères
sous lequel un
opérateur de
canal peut être
entièrement
déterminé
à partir de la
sortie de canal
correspondant à
un seul signal
d'entrée bien
choisi. En
collaboration avec G.
Pfander, je travaille
sur le problème
de
l'échantillonnage
optimal de ces
opérateurs.
