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Choisis en paroles la vérité (Lao-Tseu).

Il ne dépend que de nous de suivre la route qui monte et dviter celle qui descend (Platon)

Collaborations :  J. Aantezana, E. Agora, Y. Bennani, C. Cabrelli, et Yves Meyer.

En analyse de données nous pouvons avoir des observations mesurées soit en temps, soit en espace avec des pas d’échantillonnage variables. Ces données échantillonnées de manière irrégulière apparaissent naturellement dans de nombreux domaines d’application, notamment la biologie, l’écologie, la climatologie, l’astronomie, la géologie, la finance et la santé. L’exemple type étant celui des données de séries chronologiques. Un premier problème posé par ce type de données évolutives est leurs modélisation. Il s’agit ici de déterminer quel est le modèle le plus approprié pour représenter des données observées avec un pas d’observation en temps ou en espace variable. Une autre source de la variabilité de l’échantillonnage est du au fait que différents cas de données sont susceptibles d’inclure différents nombres d’observations. Nous pouvons donc avoir des observations dont la dimensionnalité peut être différente pour différents cas de données. Par exemple dans la même série chronologique multivariée on peut avoir à la fois un manque d’alignement temporel entre les données observées et aussi avoir des observations vivant dans des espace de dimension différente. Il en résulte un   manque d’alignement des points temporels d’observation sur des différentes dimensions.


Dans ce contexte j’ai commencé une riche collaboration scientifique avec Y. Meyer.  C’est ainsi qu’un nouveau chapitre de recherche est entré dans ma vie scientifique. Ce chapitre est l’échantillonnage irrégulier des fonctions en très grande dimension. Nous avons étudié dans ce contexte les propriétés d’échantillonnage de certains ensembles de points appelés « quasi-cristaux » en 1984 par D. Shechtman, gagnant du Prix Nobel de Chimie en 2011 ou encore appelés « ensemble modèles » par Y. Meyer dans les années 70. Ces ensembles de points généralisent les réseaux, mais ne sont pas des ensembles aléatoires. Les quasi-cristaux sont définis d’une manière simple par la méthode « coupe et projection ». Nous avons établis quelques propriétés remarquables de quasi-cristaux. Non seulement ils sont des ensembles d’échantillonnage stable, au sense définit par H. Landau en 1967, pour des fonctions bande limités généralisées, mais aussi des ensembles d’échantillonnage universels au sense défini par A. Olevskii.  Grosso modo,   en utilisant l’échantillonnage d’une fonction sur un quasi-cristal permet la reconstruction exacte de celle ci à partir d’une information réduite sur son spectre.


Mieux encore, j’ai démontré que la reconstruction exacte des mesures positives et périodiques, dont le support (inconnu) est un ensemble fini de points, est possible à condition d’utiliser un quasi-cristal simple suffisamment dense. D'une part les outils pour établir ce résultat sont différents de ceux utilisés précédement et d'autre part l'intérêt de ce résultat consiste dans sa directe utilisation dans des applications pratiques.

Les résultats obtenus sont d’une part une généralisation en dimension infinie déterministe possible du « compressed sensing » de E. Candès  et d’autre part peuvent être vu comme une generalisation du principe de l’incertitude démontré par T. Tao.





Toujours sur ce même problème G. Pfander s'intéresse à l'échantillonnage des opérateurs, qui  a son origine dans les résultats de T. Kailath au début des années 1960. T. Kailath a établi critères de mesurabilité des canaux de transmission  variant dans le temps, c'est-à-dire des critères sous lequel un opérateur de canal peut être entièrement déterminé à partir de la sortie de canal correspondant à un seul signal d'entrée bien choisi. En collaboration avec G. Pfander, je travaille sur le problème de l'échantillonnage optimal de ces  opérateurs.