Résumé : La richesse de l'étude combinatoire des polytopes repose grandement sur le paradoxe entre leur extrême banalité dans toutes sphères des mathématiques et la grande difficulté à établir des théorème combinatoires généraux sur ceux-ci. En prenant une sous-famille des polytopes, les zonotopes, dont la structure est beaucoup plus algébrique, nous avons démontré un certain nombre de résultats énumératifs asymptotiques. Tout d'abord sur le nombre de types combinatoires de polytopes équiprojectifs, ce qui ouvre de nouvelles perspectives sur une question ouverte posée par Shephard en 1968 d'une construction explicite de tous ces polytopes. Ensuite, dans le domaine des polytopes entiers, c'est à dire les polytopes dont les sommets sont de coordonnées entières (dans R^d), nous avons calculé l'équivalent asymptotique du nombre de zonotopes entiers dans un hypercube. Ce résultat nous permet d'améliorer les résultats de Barany Bureau et Lund en donnant le deuxième ordre de la convergence d'un zonotope entier dans un cône dont les deux extrémités sont fixées. Tout cela nous permet enfin d'établir un théorème limite fonctionnel pour les polygones entiers uniformément aléatoires dans un carré, où apparaît un pont Brownien avec une dérive étonnante, car c'est une courbe cubique.

Jury :
Frédérique Bassino, USPN - Examinatrice
Olivier Bodini, USPN - Examinateur
Luca Castelli Aleardi, Ecole polytechnique - Examinateur
Nathanaël Enriquez, Université Paris Saclay Examinateur
Xavier Goaoc, Univ. de Lorraine - Rapporteur
Philippe Marchal, CNRS, USPN - Directeur
Jean-François Marckert, CNRS Université de Bordeaux - Rapporteur
Lionel Pournin, USPN - Directeur

Dernière modification : Monday 18 March 2024

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