Résumé : Un sommet du réseau ${\mathbb Z}^d$ est dit visible depuis l'origine si le segment de droite joignant l'origine à ce sommet intersecte le réseau en exactement deux points (l'origine et le sommet lui-même).
Cette notion a un contenu arithmétique : $(x_1,\dots,x_d)$ est visible depuis l'origine si et seulement si ${\rm PGCD}(x_1,\dots,x_d) = 1$.
Colorions les sommets visibles depuis l'origine en blanc et les autres en noir. À quoi ressemble ce coloriage vu depuis un point choisi « uniformément au hasard dans ${\mathbb Z}^d$ »? Nous verrons qu'il est possible de donner un sens rigoureux à cette question et d'y apporter une réponse satisfaisante.
Le coloriage aléatoire émergeant de cette étude peut être étudié du point de vue de la percolation. Nous verrons que, pour tout $d \geq 2$, presque sûrement, le nombre de composantes connexes blanches infinies vaut $1$ tandis que le nombre de composantes connexes noires infinies vaut $0$.
On présentera une démonstration de ce résultat obtenue en collaboration avec Samuel Le Fourn et Mike Liu.

 [arXiv]

Dernière modification : Monday 18 March 2024

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