Next: Loi de réciprocité octale Up: Pour quelques réciprocités de Previous: Résidu quadratique dans les

Loi de réciprocité quartique, de Burde, de Scholz

La première a été découverte par Gauss sur ses désormais célèbres entiers :
pour p=4n+1=a²+b²=(a+ib)(a-ib)=p₁ p₂, on a

$\begin{displaymath} \left(\frac{p_1}{q_1}\right)_4 \left(\frac{q_1}{p_1}\right)_4= (-1)^{(p_1-1)(q_1-1)/16}\end{displaymath}$

que l'on affine par les formules complémentaires : -1 est une puissance quatrième $\Longleftrightarrow p=8n+1$ et 2 est une puissance quatrième $\Longleftrightarrow p=a^2+64b^2$ .

Emma Lehmer (en 1958) et Klaus Burde (en 1969) ont donné respectivement les formules suivantes, sous l'hypothèse $\left(\frac{p}{q}\right)_2=1$ :

$\begin{displaymath} \left(\frac{p}{q}\right)_4 \left(\frac{q}{p}\right)_4 = \lef... ...\frac{q}{p}\right)_4 = (-1)^\frac{{q-1}}{4} (\frac{aB-bA}{q})_2\end{displaymath}$

où p=a²+b² et q=A²+B² avec $a\equiv A \equiv 1 \ [4]$ .Ces deux formules sont en fait équivalentes.

Emma Lehmer et Ezra Brown en 1971 ont également donné, pour $p\equiv q\equiv 1 \ [4]$ tels que p=c²+qd² : $\left(\frac{p}{q}\right)_4 \left(\frac{q}{p}\right)_4 = (-1)^d$ si $q\equiv 5 \ [8]$ et $\left(\frac{p}{q}\right)_4 \left(\frac{q}{p}\right)_4=1$ si $q\equiv 1 \ [8]$ . Il faut savoir que tout nombre premier $p \equiv 1\ [4]$ et carré modulo q est du type c²+qd² pour q=5, 13 et 37.

Citons maintenant la loi de réciprocité de Scholz (1934), puisqu'il faut rendre à César ce qui appartient à César, et à la théorie des corps de classes ce qui appartient à la théorie des corps de classes :

$\begin{displaymath} \left(\frac{\varepsilon_q}{p}\right)=\left(\frac{\varepsilon_p}{q}\right).\end{displaymath}$

En fait cette formule a été redécouverte, plus de trente ans après, sous la forme $\left(\frac{\varepsilon_q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)_4 \left(\frac{q}{p}\right)_4$ , par induction sur les résultats suivants concernant les unités quadratiques (i.e. les éléments de norme $\pm 1$ ) : $\left(\frac{\varepsilon_2}{p}\right)=\left(\frac{1+\sqrt 2}{p}\right)=1 \Longleftrightarrow$ p=c²+32d² ; $\left(\frac{\varepsilon_5}{p}\right)=\left(\frac{(1+\sqrt 5)/2}{p}\right)=1 \Lo... ...lon_{13}}{p}\right)=\left(\frac{(3+\sqrt 13)/2}{p}\right)=1 \Longleftrightarrow$ p=c²+qd² avec q impair ; $\varepsilon_{17}=4+\sqrt 17$ est toujours un résidu quadratique modulo p.

Auteur : Cyril Banderier, 23 juillet 1997.