Fonction de Weierstrass et courbes elliptiques

Nous aurons besoin de la fonction $\wp$ de Weierstrass qui est à la base de la théorie des courbes elliptiques dont les résultats suivants dérivent [Bayad], [Lang]. Soit R le réseau ${\mathbb Z}\omega_1+{\mathbb Z}\omega_2$.$\wp$ est définie par

$$\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega \in R^*} \Bigl (\frac{1}{ (z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\Bigr )$$

On peut sommer sur R car il y a convergence normale donc commutative.

On note

$$g_2=60 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1}{\omega^4} {\rm \ \ et \ \ } g_3=140 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1} {\omega^6}.$$

On obtient ainsi la formule clef reliant la fonction de Weierstrass aux courbes elliptiques, permettant de considérer $\wp$ comme une ``paramétrisation'' de la courbe elliptique E :

$$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3.$$

Ainsi ($\wp,\wp'$) paramétrise Y²=4X³-g₂X-g₃, de discriminant : $\Delta=g_2^3-27g_3^2\not = 0$.On a ainsi un isomorphisme entre ${\mathbb C}/R$ et E donné par $z\mapsto (\wp(z),\wp'(z))$.