Une formule accorte

L'article Loi de réciprocité dans les corps quadratiques imaginaires, Annales de l'Institut Fourier, 1995, de A. Bayad, nous donne, dans un tel corps ${\mathbb K}$ :

$$\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_2 . \left(\frac{\beta}{\al... ...)-1}{2} (-1)^{ \frac{N (\alpha)-1} {2} \frac{N (\beta)-1}{ 2}}.$$

Dans les précisions suivantes $\nu$ désigne à la fois α et β , des entiers algébriques. $N(\nu)$ désigne la norme de $\nu$ dans ${\mathbb K}/{\mathbb Q}$.

Rappel sur l'anneau ${\mathbb A}$ des entiers de ${\mathbb Q}(\sqrt{d})$ :
si $d \equiv 1 \ [4]$ alors

$${\mathbb A}={\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{ 2}]=\{\frac{u+v \sqrt{d} }{2} \ \vert \ u,v \in {\mathbb Z}, u\equiv v \ [2] \}$$

et le discriminant est donné par $D_{\mathbb K}=d$ ;
si $d\equiv 2,3 \ [4]$ alors

$${\mathbb A}={\mathbb Z}[\sqrt{d}]={\mathbb Z}+\sqrt{d}{\mathbb Z}$$

et le discriminant est donné par $D_{\mathbb K}=4d$.