Nombres premiers réguliers

Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique ${\mathbb Q}(e^{2i \pi/p})$,que l'on note aussi ${\mathbb Q}(\zeta_p)$,voire ${\mathbb Q}(\root p\of{1})$.

Kummer, après vingt années de travail pour calculer les nombres de classes d'idéaux dans les anneaux ${\mathbb Z}[\root p\of{1}]$,a pu donner la liste des nombres premiers irréguliers (i.e. les nombres premiers impairs qui ne sont pas réguliers) p inférieurs à 163.

p : 37 59 67 101 103 131 149 157

``Multiples'' de p : B₃₄ B₄₄ B₅₈ B₆₈ B₂₄ B₂₂ B₁₃₀ B₆₂ et B₁₁₀

Pour ce faire, il a utilisé le critère de Kummer :
un entier premier impair est régulier si et seulement si p ne divise dans ${\mathbb Z}_{(p)}$ aucun des nombres de Bernoulli $B_2, B_4,\dots,B_{p-3}$i.e. si et seulement si p ne divise aucun des numérateurs des nombres de Bernoulli $B_2, B_4,\dots,B_{p-3}$. Ceci est équivalent à ce que p² ne divise aucune des sommes $1^k+2^k+\dots+(p-1)^k$ pour $k=2, 4, \dots, p-3$.

Rappel : ${\mathbb Z}_{(p)}$ est le localisé de ${\mathbb Z}$ en p, i.e. l'ensemble des rationnels dont le dénominateur est étranger avec p : on peut le voir comme l'anneau local des fractions de ${\mathbb Z}$ par rapport au complémentaire de l'idéal premier (p). Un anneau local est un anneau commutatif unitaire n'ayant qu'un seul idéal maximal.

Théorème de Jensen :
Il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers congrus à 3 modulo 4.

Théorèmes de Metsänkylä :
- Il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers congrus à 1 mod 3 ou à 1 mod 4. On ne sait toutefois même pas si l'une de ces deux classes est infinie.
- Les classes du complémentaire de tout sous-groupe propre de ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ contiennent une infinité d'entiers premiers irréguliers (modulo n, bien sûr).
Il est clair que le théorème de Jensen n'est qu'alors un corollaire immédiat de ce théorème pour n=4.

Théorème de Kummer :
La conjecture de Fermat est vraie pour tout exposant p entier premier régulier. Cette conjecture marginale affirme, on le rappelle :

$$\forall p\gt 2 \ \forall (x,y,z)\in {\mathbb Z}^3 \ (x^p+y^p+z^p=0\Longrightarrow xyz=0).$$