Lemme sur la somme de Gauss

Avec les notations précédentes, on a : $\tau^2=\left(\frac{-1}{q}\right) q$.Preuve : On a

$$\tau^2=\tau.\tau=(\sum_x \left(\frac{x}{q}\right)\omega^x) (... ...ght)\omega^y)= \sum_{x,y}\left(\frac{xy}{q}\right)\omega^{x+y}.$$

Réalisons le changement de variable y=xz et, en utilisant

$$\left(\frac{xy}{q}\right)=\left(\frac{x}{q}\right)^2 \left(\frac{z}{q}\right)=\left(\frac{z}{q}\right),$$

on a :

$$\tau^2=\sum_z \left(\frac{z}{q}\right) \sum_x \omega^{x(1+z)}.$$

Or

$$\sum_{t \in {\mathbb F}_q} \omega^t=1+\omega+\dots+ \omega^{p-1}=0,$$

par conséquent

$${\sum_{t \in {\mathbb F}_q^*} \omega^t=-1}.$$

Si $z \not = -1$, l'application $x \mapsto x(1+z)$ est une permutation de ${\mathbb F}_q^*$ donc

$$\sum_x \omega^{x(1+z)}=-1$$

et donc

$${\tau^2=\left(\frac{-1}{q}\right) (q-1) + \sum_{z \not = -1} -\left(\frac{z}{q}\right)}.$$

Si on utilise maintenant le fait qu'il y a dans ${\mathbb F}_q^*$ autant de carrés que de non carrés, ce qui entraîne

$$\sum_{x \in {\mathbb F}_q^*} \left(\frac{x}{q}\right)=0,$$

on obtient ce que l'on voulait :

$$\tau^2= \left(\frac{-1}{q}\right) (q-1)+\left(\frac{-1}{q}\right)= \left(\frac{-1}{q}\right) q.$$

Une généralisation abstraite (le théorème de Kronecker-Weber) affirme que tout corps de nombres algébriques dont le groupe de Galois sur ${\mathbb Q}$ est commutatif est un sous-corps d'un corps cyclotomique.