Quod erat demanstrandum (bis repetita placent)

Parmi les nombreuses démonstrations de la loi de réciprocité, il en est qui utilisent les corps finis. En voici donc une seconde, une tirée de [Naudin]. On considère un sur-corps $\Omega_p$ de ${\mathbb F}_p$ contenant une racine $\omega$ de l'unité, d'ordre q. On introduit la somme de Gauss : $\tau =\sum_{x \in {\mathbb F}{_q}^*} \left(\frac{x}{q}\right) \omega^x.$Gauss les a utilisées pour sa sixième (1808) et huitième (1818) preuve de la loi de réciprocité. On remarquera, puisque $\omega^q=1$, que $x \in {\mathbb F}_q \mapsto \omega^x \in \Omega_p$ est bien définie et vérifie $\omega^{x+y}=\omega^x \omega^y$. Dans le corps $\Omega_p$,$\tau$ est une racine carrée de $\pm q$, comme le montre le lemme suivant.