Séminaires

Dans cet exposé, je parlerai des méthodes récentes développées par A. Elveis-Price, W. Fang, B. Louf et M. Walner pour déterminer les comportements asymptotiques des solutions de récurrences bivariées. Ces méthodes se basent sur une approche d'abord heuristique qui permet de déterminer la forme de l'asymptotique, puis dans un second temps on utilise des arguments issus des marches aléatoires dans le quart de plan pour obtenir des équivalents. On verra comment ces méthodes peuvent s'appliquer au cas des nombres de Hurwitz monotones, que l'on a étudié avec B. Louf et si le temps le permet, aux généralisations possibles.

Framing lattices were introduced very recently in [von Bell--Ceballos, 2025] and [Berggren--Serhiyenko, 2024] as a wide family of lattices containing many generalizations of the Tamari lattice and the weak order. They are associated to a directed acyclic graph, together with a framing, a choice of total orders on incoming and outgoing edges at each vertex. Such a choice of framing enables to decide whether two routes (maximal paths) are crossing. Framing lattices were then defined as an order on maximal collections of non crossing routes. In an ongoing work with Jonah Berggren, we introduce cornered cliques as a new combinatorial model for the elements of a framing lattice, with explicit bijections with maximal cliques. These enable us to provide cubical coordinates for all framing lattices, for which covering relations change only one coordinate, and comparison in the lattice corresponds to componentwise comparison. These specialize to the well-known bracket vectors for the Tamari lattice, and to an enhanced version of the Lehmer code for the weak order.

Low-discrepancy sequences are the best discrete approximations of the continuous uniform distribution. Two of the most classical constructions are the van der Corput sequence and the family of Kronecker sequences. Apart from their uniformity, their construction methods lead to very nice mathematical properties. In this talk, I will present some ways to use their regularity, first to tackle an old problem of Erdos and de Bruijn (1949) on lengths of consecutive segments, and then to obtain embeddings in translation surfaces.

On peut facilement plier une feuille de papier rectangulaire, afin de réaliser un cylindre droit : il suffit de plier la feuille en trois de manière à obtenir un prisme à section triangulaire. Mais qu'en est-il si l'on veut recoller les bords triangulaires de ce prisme pour réaliser un tore plat ? Nous verrons dans cet exposé que cela est toujours possible, ce quel que soit les polygones papiers de départ considérés, et les instructions de recollement choisis. Nous étudierons également la question suivante : est-il possible de réaliser tous les tores plats avec une combinatoire fixée ? Enfin, si le temps le permet, nous évoquerons la généralisation de ces questions à des surfaces polyédrales de genre 2, dites de translation.

Cette présentation plonge, en particulier, dans l'article https://arxiv.org/abs/2510.03177 avec Georg Loho et Arnau Padrol. Nous commencerons par une (longue) introduction aux déformations de polytopes. Un permutoèdre déformé (aussi appelé permutoèdre généralisé, ou fonction sous-modulaire) est un polytope dont toutes les arêtes ont pour direction $e_i - e_j$ pour certains $i \neq j$. L'ensemble des permutoèdres déformés vivant dans $\mathbb R^n$ forme un cône, le cône sous-modulaire. Nous proposons une construction "inductive" du cône sous-modulaire, en utilisant une opération nommée GP-sum : à partir de deux permutoèdres déformés dans $\mathbb R^n$, nous créons (bijectivement) un permutoèdre déformé dans $\mathbb R^{n+1}$. Munis de cette construction, nous créons de nouveaux rayons du cône sous-modulaire, c'est-à-dire de nouveaux permutoèdres déformés indécomposables (au sens de la somme de Minkowski). Cela nous permet d'améliorer les bornes connues sur le nombre de rayons du cône sous-modulaire, notamment en produisant $2^{2^n}$ rayons. Plus encore, nous étudions le f-vecteur du cône sous-modulaire, son nombre total de faces, et le nombre de ses faces simplicial, grâce à la nouvelle partition que cette construction inductive nous donne.

Même si trier une permutation aléatoire requiert n log(n) comparaisons en moyenne, il existe de nombreux cas d'usage où les tableaux que l'on souhaite trier ne sont pas des permutations aléatoires : soit ils contiennent de longues plages contiguës déjà triées, soit ils contiennent peu de valeurs distinctes. L'algorithme TimSort, utilisé en Java pour trier des tableaux d'objets composites, a été conçu spécifiquement pour être plus efficace sur de tels tableaux pré-triés. Nous découvrirons comment cet algorithme et ses variantes fonctionnent et pourquoi ils sont efficaces.

Geometric hitting set problems, in which we seek a smallest set of points that collectively hit a given set of ranges, are ubiquitous in computational geometry. Most often, the set is discrete and is given explicitly. We propose new variants of these problems, dealing with continuous families of convex polyhedra, and show that they capture decision versions of the two-level finite adaptability problem in robust optimization. We show that these problems can be solved in strongly polynomial time when the size of the hitting/covering set and the dimension of the polyhedra and the parameter space are constant. We also show that the hitting set problem can be solved in strongly quadratic time for one-parameter families of convex polyhedra in constant dimension. This leads to new tractability results for finite adaptability that are the first ones with so-called left-hand-side uncertainty, where the underlying problem is non-linear. Joint work with Jean Cardinal and Xavier Goaoc. Manuscript: https://arxiv.org/abs/2504.16642

Étant donné $n \in \mathbb{N}$ et $\mu \in \mathbb{R}$, un arbre de taille $n$ biaisé par la hauteur est un arbre planaire aléatoire $T_n$ à $n$ sommets dont la loi est donnée par $P(T_n = t ) \propto e^{-\mu h(t)}$, où $t$ est un arbre fixe à $n$ sommets, et $h(t)$ est la hauteur de $t$ . Dans cet exposé on va présenter quelques statistiques de ces arbres quand $\mu=\mu(n)$ est une suite à termes positifs dépendant de $n$: la limite d'échelle quand $\mu(n) \sim 1/ \sqrt{n}$, la hauteur ainsi que le comportement autour de la racine quand $0 \leq \mu(n) \ll n$. L'exposé est basé sur arXiv:2512.17747 en commun avec L. Addario-Berry, B. Corsini et N. Maitra.

Lattice walks confined in the first quadrant have been subject to an extended study for about a decade, showing a great variety of techniques to handle functional equations with catalytic variables. A work of Pierre Bonnet and Charlotte Hardouin of 2024 extended those tools in the context of the study of walks based upon models with arbitrarily large steps, allowing to effectively conduct a strategy devised by Bousquet-Mélou, Olivier Bernardi and Kilian Raschel of 2016, providing the algebraicity proofs of some models. In this talk, I show how these tools show the algebraicity of an infinite family of models of walks derived from the Gessel models.