Résumé : Framing lattices were introduced very recently in [von Bell--Ceballos, 2025] and [Berggren--Serhiyenko, 2024] as a wide family of lattices containing many generalizations of the Tamari lattice and the weak order. They are associated to a directed acyclic graph, together with a framing, a choice of total orders on incoming and outgoing edges at each vertex. Such a choice of framing enables to decide whether two routes (maximal paths) are crossing. Framing lattices were then defined as an order on maximal collections of non crossing routes.
In an ongoing work with Jonah Berggren, we introduce cornered cliques as a new combinatorial model for the elements of a framing lattice, with explicit bijections with maximal cliques. These enable us to provide cubical coordinates for all framing lattices, for which covering relations change only one coordinate, and comparison in the lattice corresponds to componentwise comparison. These specialize to the well-known bracket vectors for the Tamari lattice, and to an enhanced version of the Lehmer code for the weak order.

Les treillis de framing ont été définis très récemment par [von Bell--Ceballos, 2025] et [Berggren--Serhiyenko, 2024] comme une grande famille de treillis contenant de nombreuses généralisations du treillis de Tamari et de l'ordre faible. Ils sont associés à un graphe dirigé sans cycle, et à un choix d'ordres totaux sur toutes les entrantes et sortantes de chaque sommets, appelé un framing. Ce framing permet de décider quand deux routes (chemins maximaux) se croisent. Les treillis de framing ont été initialement définis comme un ordre sur les cliques maximales de routes non croisées.
Dans un travail en cours avec Jonah Berggren, nous définissons des cliques à coins comme nouveau modèle combinatoire pour les éléments d'un treillis de framing, avec des bijections explicites entre les cliques maximales. Ces cliques à coins nous fournissent des coordonnées cubiques pour tous les treillis de framing, pour lesquelles les relations de couverture ne changent qu'une seule coordonnée à la fois, et la comparaison dans le treillis revient à la comparaison composante par composante. Ces coordonnées permettent de retrouver les bien connus vecteurs de parenthèses pour le treillis de Tamari, et une version améliorée du code de Lehmer pour l'ordre faible.

Dernière modification : Sunday 05 April 2026

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