Résumé : L'action de sous-groupes sur un produit de groupes symétriques permet d'énumérer différentes familles de graphes. En particulier, les graphes à ruban bi-partis à $n$ arêtes (et au plus $2n$ sommets) sont les orbites de l'action adjointe $( g s_1 g ^{-1} , g s_2 g ^{-1})$ dans $S_n \times S_n$, où $g, s_1$ et $s_2$ sont des éléments de $S_n$. Ces graphes forment une base d'une algèbre $K(n)$, qui est aussi un espace de Hilbert pour un certain produit sesquilinéaire. On y définit une famille finie d'opérateurs $T_i$, qui commutent entre eux (système intégrable) et qui sont hermitiens. Nous sommes donc en présence d'un modèle de mécanique quantique. Dans une base de représentation de Fourier, étiquetée par les diagrammes de Young, les $T_i$ admettent des valeurs propres qui ne sont rien d'autre que les caractères (normalisés) de cette représentation. On montre que les multiplicités des valeurs propres de ces opérateurs sont les coefficients de Kronecker, bien connus en théorie des représentations. Nous démontrons qu'il existe un algorithme (HNF) de construction de cette multiplicité qui s'interprète comme la dimension d'un sous-treillis du treillis des graphes à ruban : $\mathbb{Z}^{{\rm Rib}(n)}$, où ${\rm Rib}(n)$ est le nombre de graphes à ruban bi-partis à n arêtes. Ceci offre ainsi une réponse à la question de Murnaghan (Amer. J. Math, 1938) sur l'interprétation combinatoire du coefficient de Kronecker. Je finirai par une application au problème de décision de l'annulation du coefficient de Kronecker.

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Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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