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Pour cette page, on définit la dérivée $\partial x$ d'un mot infini $x$ comme suit : on appelle bloc de $x$ un facteur constant de $x$ de longueur maximale ; la $n$-ieme lettre de $\partial x$ est la longueur du $n$-ieme bloc de $x$.
Le mot de Kolakoski est le mot sur l'alphabet $\{1,2\}$ qui est fixe par dérivation et commence par un $1$ : $k=1221121221221121122121121221121121221221121221211211221...$
La connaissance d'un préfixe de $k$ permet de construire un préfixe de $k$ strictement plus long de sorte qu'on peut écrire les premières lettres de $k$ très facilement de proche en proche :
1 2 211 21 2 21 2 211 211 2 21 211 21 2 211 211 21 2 21 12211212212211211221211212211211212212211212212112112212On ne sait pratiquement rien sur le mot de Kolakoski, une conjecture importante est que la fréquence d'apparitions de la lettre $1$ existe et vaut $\frac{1}{2}$.
Histoire de se faire une petite idée, voici le 50e graphe de Rauzy du mot de Kolakoski, dessiné à l'aide de neato :
C'est pas gagné...
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