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\def\Proof{\noindent \it Proof -- \rm}
\def\qed{\hspace{3.5mm} \hfill \vbox{\hrule height 3pt depth 2 pt width 2mm}
\bigskip\\}

\def\S{{\mathfrak  S}}
\def\cal#1{{\mathfrak #1}}
\def\bo{{\small \,\Box}}
\def\DD{{\sf D}}
\def\EE{{\sf E}}
\def\<{\langle}
\def\>{\rangle}
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\def\aa{{\sf a}}
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\def\ie{{\it i.e.}, }
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\hrule}%
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\def\al{\alpha}
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\def\mref#1{{\footnotesize ({\ref{#1}})}}


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\def\sign{\mbox{sign}}
\def\wt#1{#1}


\begin{document}
\title{Sch\"utzenberger's factorisation and noncommutative differential equations.}
\author[Gérard H. E. Duchamp]{
Gérard H. E. Duchamp\\
\textcolor{red}{Collaborators:}\\
Karol A. Penson (Univ. Paris VI)\\
Hoang Ngoc Minh (Univ. Paris XIII)
}
\date[01/12/2010]{Poncelet Laboratory, \\ 01 December 2010}
\institute[LIPN - P13]{\textit{ Laboratoire d'Informatique de Paris Nord, } \\ \vspace{0.1cm} Universit\'e Paris 13}
\frame[plain]{\titlepage}


\section{Introduction}
\begin{frame}{Plan}

\begin{itemize}
 \item Propriétés universelles du monoïde et de l'algèbre libres.\\ 
 {\bf Attention} : En math\'ematiques standard, on utilise algèbre libre pour ``libre par rapport aux  $k$-modules'', c'est le foncteur $T$ (voir plus bas) ici, c'est par rapport à la catégorie des ensembles vers celle des $k$-AAU. 
 \item Graduations totale et fine de $\ncp{k}{X}$
 \item Notion d'algèbre filtrée ($T(V)$, Clifford, Algèbres enveloppantes), gradué associé
 \item Structure d'algèbre de Hopf de $\ncp{k}{X}$
 \item \'Eléments primitifs 
	\begin{itemize} 
  \item caractéristique nulle (théorème de Friedrichs) et positive 
  \item algèbre de Lie Libre $\ncp{L_k}{X}$, base de Lyndon, 
  \item Théorème de Cartier-Milnor-Moore 
  \end{itemize}
 \item Séries de Hilbert
 \item Foncteurs $T,S,L$
 \item Bases duales, théorème de Ree
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Propriétés universelles du monoïde et de l'algèbre libres. 1/2}

Que ce soit pour le mono\"\i de où l'alg\`ebre libres, le sch\'ema est toujours le m\^eme : il s'agit d'objets libres d'une catégorie par rapport à une autre (ici, les ensembles). On dispose d'un foncteur (d'oubli) $F$ de $\cc$ vers $Set$ qui prend un objet d'une cat\'egorie $\cc$ et rend un ensemble. 
\begin{itemize}
	\item $\cc$ est la catégorie $\mathbf{mon}$ des mono\"\i des et le foncteur $F$, \`a un mono\"\i de $(M,*)$ fait correspondre $M$ en tant qu'ensemble (et, donc ``oublie'' le loi $*$)
	\begin{itemize}
	\item le mono\"\i de libre construit sur $X$ (cf. \cite{BoA1} Alg I p 78, \cite{Lo}) est la donn\'ee d'un couple $(j_M,M(X))$ où
	\item $M(X)$ est un mono\"\i de 
	\item $j_M$ est une application ensembliste (donc de $X$ dans $F(M(X))$) 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
avec la propri\'et\'e que pour toute application $\phi$ de $X$ vers $M$ (un mono\"\i de) (soit, en fait une application de $X$ vers $F(M)$), il existe un unique morphisme de mono\"\i des $M(\phi) : M(X)\ra M$, tel que $M(\phi)\circ j_M=\phi$.\\ 
Soit
\begin{equation*}
\xymatrix{
X  \ar[d]_{j_M} \ar[r]^{\phi} & M \\
M(X)   \ar[ur]_{M(\phi)}
}
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Propriétés universelles du monoïde et de l'algèbre libres. 2/2}

\begin{itemize}
	\item $\cc$ est la catégorie $k-AAU$ des $k$-alg\`ebres associatives avec unit\'e et le foncteur $F$, \`a une $k-AAU$ $(\mathcal{A},\mu)$ fait correspondre $\A$ en tant qu'ensemble (et, donc ``oublie'' le loi $\mu$ et la structure d'espace vectoriel)
	\begin{itemize}
	\item la ($k-$) alg\`ebre libre construite sur $X$ (cf. \cite{BoA1} Alg III p 21, \cite{Lo}) est la donn\'ee d'un couple $(j_A,A_k(X))$ où
	\item $A_k(X)$ est une $k$-AAU 
	\item $j_A$ est une application ensembliste (donc de $X$ dans $F(A_k(X))$) 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
avec la propri\'et\'e que pour toute application $\phi$ de $X$ vers $\A$ (une $k-AAU$) (soit, en fait une application de $X$ vers $F(\A)$), il existe un unique morphisme de $k$-algèbres ascociatives avec unit\'e $A_k(\phi) : A_k(X)\ra \A$, tel que $A_k(\phi)\circ j_A=\phi$.\\ 
Soit
\begin{equation*}
\xymatrix{
X  \ar[d]_{j_A} \ar[r]^{\phi} & \A \\
A_k(X)   \ar[ur]_{A_k(\phi)}
}
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Constructions Combinatoires}

Pour pouvoir calculer dans ces structures libres, le combinatoriste a besoin d'en donner une constrction explicite, correspondant à une structure de donn\'ee combinatoire (nombre, polyn\^ome, matrice, vecteur, etc.) ou informatique (liste, arbre, etc.) 
\footnote{Du coup, ces constructions permettent de montrer l'existence de ces objets libres.}. 
Ainsi le mono\"\i de libre construit sur $X$ est l'ensemble des mots (c'est \`a dire des suites finies) dont les lettres sont dans $X$, ces mots sont notés \cite{Lo}
\begin{equation}\label{mot}
w=x_1x_2\cdots x_n
\end{equation}
avec $x_i\in X$. Le mono\"\i de libre, ainsi r\'ealis\'e est noté $X^*$. La longueur de la suite de $w$ (Eq. \mref{mot}), $n$ est appellée {\it longueur} ou {\it degr\'e} du mot et est not\'ee $|w|$. 
\end{frame}

\begin{frame}{Constructions Combinatoires (2).}

Une autre statistique est utile, notamment quand on a des alphabets infinis, c'est celle des degr\'es partiels : pour une lettre $x\in X$, $|w|_x$ d\'esigne le nombre d'occurrences de $x$ dans le mot $|w|$. On a ainsi 
\begin{equation}
|w|=\sum_{x\in X}|w|_x	
\end{equation}
et on peut d\'efinir l'alphabet de $w$ comme l'ensemble des lettres figurant dans $w$
\begin{equation}
Alph(w)=\Big\{x\in X\ |\ |w|_x\not=0\Big\}\ .	
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Constructions Combinatoires (3).}
%
En math\'ematiques standards, $Alph(w)$ est le support de la famille 
$$
multideg(w)=(|w|_x)_{x\in X}\ .
$$ 
Cette famille, qui est un \'el\'ement de $\N^{(X)}$, est à support fini. C'est le multidegr\'e de $w$.\\
 De m\^eme que l'on note $X^n$, l'ensemble des mots de longueur $n$, on note (pour $\al\in \N^{(X)}$) $X^\al$ l'ensemble des mots de multidegr\'e $\al$. Ces notations font de $X^*$ un mono\"\i de gradu\'e sur $\N$ et sur $\N^{(X)}$.
\end{frame}

\begin{frame}{S\'eries \`a coefficients variables.}
%
Soit $V$ un ensemble (o\`u est la variable $z$) et $\H\subset C^V$, une alg\`ebre de fonctions. Toute s\'erie $S\in \ncs{\H}{\M}$ peut s'écrire 
\begin{equation}
	S:=\sum_{m\in \M}\scal{S}{m}m
\end{equation}
cette série peut se spécialiser en tout $z_0\in V$ par 
\begin{equation}
	S(z_0):=\sum_{m\in \M}\Big(\scal{S}{m}\Big)\Big|_{z=z_0}m
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{S\'eries \`a coefficients variables (2).}
%
ces sp\'ecialisations sont des morphismes de $\C$-AAU 
\begin{equation}
\ep_{z_0}\ :\ \ncs{\H}{\M}\ra \ncs{\C}{\M}
\end{equation}
%
De m\^eme, si $d$ est une d\'erivation de $\H$, la prolongement de $d$ ``coefficient par coefficient''
\begin{equation}
	d(S):=\sum_{m\in \M}d(\scal{S}{m})m
\end{equation}

 est une d\'erivation de $\ncs{\H}{\M}$ (le montrer en exercice).
%
\end{frame}


\begin{frame}{\'Equation diff\'erentielles non commutatives.}

Soit $V$ une vari\'et\'e analytique connexe et simplement connexe (par exemple, le plan doublement fendu, ou bien le rev\^etement universel de $\C-\{0,1\}$), $\H$ l'espace des fonctions analytiques sur $V$, $\M$, un mono\"\i de localement fini (on a besoin de ne pas fixer trop t\^ot le mono\"\i de pour pouvoir ``doubler'' l'équation de Drinfel'd et $\ncs{\H}{\M}$, l'algèbre des fonctions sur $\M$ \`a coefficients dans $\H$). On continue d'employer les notations de Dirac-Sch\"utzenberger (i. e. pour $f\in\ncs{\H}{\M}$ et $m\in \M$, $\scal{f}{m}$ d\'esigne la valeur $f(m)$ i. e. le coefficient de $m$ dans la s\'erie $f$ et, pour $g\in \ncp{\H}{\M}$, $\scal{f}{g}:=\sum_{m\in \M}f(m)g(m)$)). Soit $M$, un multiplcateur dans $\ncs{\H_{\geq 1}}{\M}$. 
 
\end{frame} 
 
\begin{frame}{\'Equation diff\'erentielles non commutatives (suite 2).}

On utilisera trois types d'\'equation diff\'erentielle.\\  
% 
a) {\bf \'Equation gauche}
%
\begin{equation}\label{EDG}
\frac{d}{dz} S=MS	
\end{equation}
%
b) {\bf \'Equation droite}
%
\begin{equation}\label{EDD}
\frac{d}{dz} S=SM	
\end{equation}
%
c) {\bf \'Equation bilatère}
%
\begin{equation}\label{EDB}
\frac{d}{dz} S=M_1S+SM_2	
\end{equation}
%
avec $M,M_i\in \ncs{\H_{\geq 1}}{\M}$. On donne d'abord la résolution des équations du type \mref{EDB} puisque ces propriétés se spécialisent, avec $M_2=0$ (resp. $M_1=0$) au type \mref{EDG} (resp. \mref{EDD}). Ces équations seront dites {\it primitives} si les multiplicateurs le sont.

\end{frame}

\begin{frame}{\'Equation diff\'erentielles non commutatives (suite 3).}

\begin{theorem} Dans les conditions pr\'ec\'edentes.\\ 
i) L'\'equation \mref{EDB} admet des solutions toutes de la forme
\begin{equation}
	S=H^*S_0
\end{equation}
o\`u $H$ est l'op\'erateur $G\mapsto \int_{z_0}^z \Big(M_1(s)G(s)+G(s)M_2(s)\Big) ds$ et $S_0=S(z_0)$ est une s\'erie constante.\\
ii) Deux solutions qui co\"\i ncident en un point co\"\i ncident partout.\\ 
iii) On suppose donné $\Delta$, un coproduit \`a coefficients constants, c'est à dire un morphisme $\Delta : \M\ra \ncp{\C}{\M}\otimes \ncp{\C}{\M}$ et que $M_1,M_2$ sont des éléments primitifs
$$
\Delta(M_i)=M_i\otimes 1+1\otimes M_i\ ;\ i=1,2\ .
$$ 
Alors si $S$ est de type groupe en un point de $V$, $S$ est du type groupe en tout point $z\in V$.
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Suite du théorème}
iv) Le terme constant de $S$ est indépendant de $z$ et est celui de $S_0$, en particulier, si une solution est inversible en un point, elle l'est partout (ces solutions seront appellées {\it inversibles}).\\ 
v) Soient $S_i;\ i=1,2$ des solutions inversibles d'équations primitives de type \mref{EDG} (resp. \mref{EDD}) et de multiplicateurs $M_i;\ i=1,2$. Soif $\F$ est un filtre sur $V$ (voisinages de $0$, de $1$, de l'infini etc.) et on suppose que $S_1,S_2$ sont asymtotiquement équivalentes selon $\F$. Alors si $S_2$ est de type groupe, $S_1$ est de type groupe également. 
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème}

i) L'opérateur $H$ vérifie  
$$
H\Big(\ncs{\H}{\M}\Big)\subset \ncs{\H_{\geq 1}}{\M}
$$
d'où $H^n\Big(\ncs{\H}{\M}\Big)\subset \ncs{\H_{\geq n}}{\M}$ ce qui entraine que 
$(H^n)_{n\geq 0}$ est sommable. Posons sa somme $H^*=\sum_{n\geq 0}H^n$. Si $S_0$ 
est une série constante, on a 
\begin{align}
\frac{d}{dz}(H^*[S_0])=\frac{d}{dz}(I+HH^*)[S_0]=\cr
\frac{d}{dz}(S_0)+\frac{d}{dz}(HH^*)[S_0]=M_1H^*[S_0]+H^*[S_0]M_2
\end{align}
Inversement, si $S$ est une solution de \mref{EDB}, alors $S_0=(I-H)[S]$ est une série 
constante car $\frac{d}{dz}(S_0)=\frac{d}{dz}(I-H)[S]=\frac{d}{dz}S-\frac{d}{dz}(H)[S]=
M_1S+SM_2-(M_1S+SM_2)=0$. De plus $S=(I-H)^{-1}[S_0]=H^*[S_0]$ et $S_0=S(z_0)$.\\
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème (2)}
ii) Si on considère un point quelconque $z_1\in V$, on peut construire l'opérateur $H$ correspondant avec le formule du théorème. De par le définition de $H$ et le (i), on a $S=H^*[S(z_1)]$ ce qui prouve (ii).\\
iii) Un coproduit à coefficients constants permute avec l'opérateur de dérivation donc, 
si $S$ est une solution de \mref{EDB}, on a 
\begin{align}
\frac{d}{dz}(\Delta(S))=\Delta(\frac{d}{dz}(S))=\Delta(M_1S+SM_2)=\cr
\Delta(M_1)\Delta(S)+\Delta(S)\Delta(M_2)
\end{align}
ce qui prouve que $\Delta(S)$ vérifie une équation différentielle bilatère. 
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème (3)}
D'autre part, formons l'ED que vérifie $S\otimes S$. On a 
\begin{align}
\frac{d}{dz}(S\otimes S)=\frac{d}{dz}(S)\otimes S+S\otimes \frac{d}{dz}(S)=\cr
(M_1S+SM_2)\otimes S+S\otimes (M_1S+SM_2)=\cr
(M_1\otimes 1+1\otimes M_1)(S\otimes S)+(S\otimes S)(M_1\otimes 1+1\otimes M_1)
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème (4)}
Ceci montre que, si $M_1$ et $M_2$ sont primitifs, $\Delta(S)$ et $S\otimes S$ 
vérifient la même ED. En vertu de (ii), si $S$ est primitive en un point, elle l'est 
partout.

iv) En effet, 
\begin{align}
\scal{S}{\ep}=\scal{H^*[S_0]}{\ep}=\scal{(I+HH^*)[S_0]}{\ep}=\cr
\scal{S_0}{\ep}+\scal{HH^*[S_0]}{\ep}=\scal{S_0}{\ep}
\end{align}
en particulier dire que $S$ est inversible en un point $z_0$ c'est dire que $\scal{S(z_0)}{\ep}$ est un complexe non nul. C'est aussi le terme constant de $S(z)$ en tout point $z$.
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème (5)}
v) On fait la démonstration pour des équations de type \mref{EDG}. Pour $z_0\in V$, on forme 
$$
R(z,z_0)=S_1(z)S_1(z_0)^{-1}S_2(z_0)S_2(z)^{-1}\ .
$$
$R=R(z,z_0)$ vérifie l'équation $\frac{d}{dz}R=M_1R-RM_2$, c'est donc une équation primitive. 
Cette solution vaut $R(z_0,z_0)=1$ (qui est un élément de type groupe), $R$ est de type groupe pour tout $z\in V$. Maintenant $z$ étant fixé, on a 
\begin{align}\label{limit1}
lim_{z_0:\F} \Delta(R(z,z_0))&=_{(1)}& \Delta(lim_{z_0:\F}(R(z,z_0))=\cr
\Delta(S_1(z)S_2(z)^{-1})&=_{(2)}& \Delta(S_1(z))\Delta(S_2(z)^{-1})=_{(3)}\cr
\Delta(S_1(z))\Delta(S_2(z))^{-1}&=_{(4)}&\Delta(S_1(z))\Big(S_2(z)^{-1}\otimes S_2(z))^{-1}\Big)
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{Preuve du théorème (6)}
d'autre part
\begin{align}\label{limit2}
lim_{z_0:\F} \Delta(R(z,z_0))&=_{(5)}& lim_{z_0:\F}(R(z,z_0)\otimes R(z,z_0))=_{(6)}\cr
&&S_1(z)S_2(z)^{-1}\otimes S_1(z)S_2(z)^{-1}
\end{align}
en égalant \mref{limit1} et \mref{limit2}, on obtient $\Delta(S_1(z))=S_1(z)\otimes S_1(z)$. Ce qui finit de prouver le point (v). Enfin, avec un argument symétrique, la démonstration vaut aussi pour deux équations de type \mref{EDD}.
\end{frame}

\begin{frame}{L'\'equation de Drinfel'd}

Cette \'equation est un codage commode de l'\'equation de Drinfel'd \`a trois singularit\'es \cite{G28}.
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle 
\begin{equation}\label{fuchs}
dG(z)=[x_0\omega_0(z)+x_1\omega_1(z)]G(z),
\end{equation}
o\`u $\{x_0,x_1\}$ est un alphabet non commutatif. Ici l'anneau des coefficients est l'espace des fonctions holomorphes  $\H=C^{\omega}(\mathcal{O};\C)$ o\`u  $\mathcal{O}$ est $\C-(]-\infty,0[\cup ]1,+\infty[)$ (on pourra aussi consid\'erer pour $\mathcal{O}$, le rev\^etement univerxel de $\C-\{0,1\}$). Les solutions $G$ sont \`a chercher dans $\ncs{\H}{X}$.\\
\end{frame}

\begin{frame}{L'\'equation de Drinfel's (suite-1)}

C'estn une équation de type Fuchsien. Ici le multiplicateur est $M=\frac{x_0}{z}+\frac{x_1}{1-z}$ et l'opérateur $H$ du th\`eor\`eme g\'en\'eral est 
\begin{equation}
H(f):=x_0\Big(\int_{z_0}^z \frac{1}{s}f(s) ds\Big) + x_1\Big(\int_{z_0}^z \frac{1}{1-s}f(s) ds\Big)
\end{equation}
o\'u $z_0\in\mathcal{O}$ est un point de base.\\ 
Ces int\'egrales sont bien d\'efinies (i. e. ind\'ependantes du chemin d'int\'egration) si l'ouvert (ou la vari\'et\'e dans le cas d'un rev\^etement universel) est simplement connexe. 
\end{frame}

\begin{frame}{L'\'equation de Drinfel'd (suite-2)}

Comme toute solution de \mref{fuchs} est de la forme $H^*(G_0)=H^*(1).G_0$ avec $G_0\in \ncs{\C}{X}$ (s\'erie \`a coefficients constants), il est avantageux d'avoir le plus possible d'indications sur $H^*(1)$ qui est une s\'erie de Chen dont les coefficients sont des int\'egrales it\'er\'ees 
\begin{equation}
\scal{H^*(1)}{w}=	\int_{z_0}^{z}\ldots
\int_{z_0}^{z_{k-1}}\omega_{i_1}(t_1)\ldots\omega_{i_k}(t_k),
\end{equation}
avec $w=x_{i_1}\cdots x_{i_{k}}\in X^*$ et o\`u $z_1\cdots z_{k-1}$ est une subdivision du chemin $z_0\path z$. Comme $H^*(1)$ est la solution de \mref{fuchs} qui est \'egale \`a $1$ en $z_0$, on a que, pour toute solution inversible\footnote{On peut montrer facilement que si une solution est inversible en un point elle l'est partout.} $T$ on a 
%
\begin{equation}\label{Chasles}
H^*(1)(z)=T(z)T(z_0)^{-1}	
\end{equation}
%
\end{frame}

\begin{frame}{L'\'equation de Drinfel'd (suite-3)}
La s\'erie $H^*(1)$ s'appelle la s\'erie de Chen (par rapport aux deux formes diff\'erentielles) et on la note $S_{z_0\path z}$. L'\'equation \mref{Chasles} donne aussit\^ot la relation 
\begin{equation}
S_{z_0\path z_2}=S_{z_1\path z_2}S_{z_0\path z_1}.
\end{equation}
%
On peut obtenir d'autres solutions de \mref{fuchs} en prenant deux points de base $u_0,u_1\in\mathcal{O}$ et l'opérateur 
\begin{equation}
H(f):=x_0\Big(\int_{u_0}^z \frac{1}{s}f(s) ds\Big) + x_1\Big(\int_{u_1}^z \frac{1}{1-s}f(s) ds\Big)
\end{equation}
ou m\^eme des points limite. C'est ce point de vue qui va s'av\'erer fructueux comme outil de d\'emonstration. 
\end{frame}


\begin{frame}{Bibliographie}
\begin{thebibliography}{99}
%
\bibitem{BoA1} Bourbaki N., {\it Alg\`ebre}, Ch I à III, Springer (2006).
%
\bibitem{G28} Duchamp G. H. E.,  Hoang Ngoc Minh, Solomon A. I., Goodenough S., {\it An interface between physics and number theory}, Proceedings of the XXVIII International Colloquium on Group-Theoretical Methods in Physics, Newcastle 26-30 July 2010.\\
\textcolor{black}{\tt http:\bks\bks arxiv.org\bks abs\bks 1011.0523}
%
\bibitem{HNM} Hoang Ngoc Minh, {\it On a conjecture by Pierre Cartier}, 
\textcolor{black}{\tt http:\bks\bks arxiv.org\bks abs\bks 0910.1932}
%
\bibitem{Lo} Lothaire M., {\it Combinatorics on Words}, Encyclopedia of Mathematics, Vol. 17, Addison-Wesley (1983).
%
\end{thebibliography}
\end{frame}
\end{document}