Schützenberger’s factorisation and noncommutative differential equations.

Gérard H. E. Duchamp

Collaborators:

Karol A. Penson (Univ. Paris VI) Hoang Ngoc Minh (Univ. Paris XIII)

Laboratoire d’Informatique de Paris Nord, Université Paris 13

Poncelet Laboratory, 01 December 2010

Plan

▶ Propriétés universelles du monoïde et de l’algèbre libres. Attention : En mathématiques standard, on utilise algèbre libre pour “libre par rapport aux k-modules”, c’est le foncteur T (voir plus bas) ici, c’est par rapport à la catégorie des ensembles vers celle des k-AAU.

▶ Graduations totale et fine de k⟨X ⟩ ▶ Notion d’algèbre filtrée (T (V ), Clifford, Algèbres

enveloppantes), gradué associé ▶ Structure d’algèbre de Hopf de k⟨X ⟩ ▶ Éléments primitifs

▶ caractéristique nulle (théorème de Friedrichs) et positive ▶ algèbre de Lie Libre L_{k}⟨X ⟩, base de Lyndon, ▶ Théorème de Cartier-Milnor-Moore

▶ Séries de Hilbert ▶ Foncteurs T , S, L ▶ Bases duales, théorème de Ree

Propriétés universelles du monoïde et de l’algèbre libres. 1/2

Que ce soit pour le monoïde où l’algèbre libres, le schéma est toujours le même : il s’agit d’objets libres d’une catégorie par rapport à une autre (ici, les ensembles). On dispose d’un foncteur (d’oubli) F de C vers Set qui prend un objet d’une catégorie C et rend un ensemble.

▶ C est la catégorie mon des monoïdes et le foncteur F , à un monoïde (M, ∗) fait correspondre M en tant qu’ensemble (et, donc “oublie” le loi ∗)

▶ le monoïde libre construit sur X (cf. [1] Alg I p 78, [4]) est la

donnée d’un couple (j_{M}, M(X )) où ▶ M(X ) est un monoïde ▶ j_{M} est une application ensembliste (donc de X dans F (M(X )))

avec la propriété que pour toute application ϕ de X vers M (un monoïde) (soit, en fait une application de X vers F (M)), il existe un unique morphisme de monoïdes M(ϕ) : M(X ) → M, tel que M(ϕ) ∘ j_{M} = ϕ. Soit

\xymatrix{X \ar[d]_{j_{M}} \ar[r]^{ϕ} & M \\ M(X ) \ar@{-->}[ur]_{M(ϕ)}}

Propriétés universelles du monoïde et de l’algèbre libres. 2/2

▶ C est la catégorie k − AAU des k-algèbres associatives avec unité et le foncteur F , à une k − AAU (A, μ) fait correspondre A en tant qu’ensemble (et, donc “oublie” le loi μ et la structure d’espace vectoriel)

▶ la (k−) algèbre libre construite sur X (cf. [1] Alg III p 21, [4])

est la donnée d’un couple (j_{A}, A_{k}(X )) où ▶ A_{k}(X ) est une k-AAU ▶ j_{A} est une application ensembliste (donc de X dans F (A_{k}(X )))

avec la propriété que pour toute application ϕ de X vers A (une k − AAU) (soit, en fait une application de X vers F (A)), il existe un unique morphisme de k-algèbres ascociatives avec unité A_{k}(ϕ) : A_{k}(X ) → A, tel que A_{k}(ϕ) ∘ j_{A} = ϕ. Soit

\xymatrix{X \ar[d]_{j_{A}} \ar[r]^{ϕ} & A \\ A_{k}(X ) \ar@{-->}[ur]_{A_{k}(ϕ)}}

Constructions Combinatoires

Pour pouvoir calculer dans ces structures libres, le combinatoriste a besoin d’en donner une constrction explicite, correspondant à une structure de donnée combinatoire (nombre, polynôme, matrice, vecteur, etc.) ou informatique (liste, arbre, etc.) ^{1}. Ainsi le monoïde libre construit sur X est l’ensemble des mots (c’est à dire des suites finies) dont les lettres sont dans X , ces mots sont notés [4]

w = x_{1}x_{2} ⋯ x_{n}  (1)

avec x_{i} ∈ X . Le monoïde libre, ainsi réalisé est noté X^{∗}. La longueur de la suite de w (Eq. (1)), n est appellée longueur ou degré du mot et est notée |w|.

1Du coup, ces constructions permettent de montrer l’existence de ces objets libres.

Constructions Combinatoires (2).

Une autre statistique est utile, notamment quand on a des alphabets infinis, c’est celle des degrés partiels : pour une lettre x ∈ X , |w|_{x} désigne le nombre d’occurrences de x dans le mot |w|. On a ainsi

|w| = ∑_{x∈X} |w|_{x}  (2)

et on peut définir l’alphabet de w comme l’ensemble des lettres figurant dans w

Alph(w) = {x ∈ X | |w|_{x} ≠ 0} .  (3)

Constructions Combinatoires (3).

En mathématiques standards, Alph(w) est le support de la famille

multideg(w) = (|w|_{x})_{x∈X} .

Cette famille, qui est un élément de ℕ^{(X )}, est à support fini. C’est le multidegré de w. De même que l’on note X^{n}, l’ensemble des mots de longueur n, on note (pour α ∈ ℕ^{(X )}) X^{α} l’ensemble des mots de multidegré α. Ces notations font de X^{∗} un monoïde gradué sur ℕ et sur ℕ^{(X )}.

Séries à coefficients variables.

Soit V un ensemble (où est la variable z) et H ⊂ C^{V}, une algèbre de fonctions. Toute série S ∈ H⟨⟨M⟩⟩ peut s’écrire

S := ∑_{m∈M}⟨S|m⟩m  (4)

cette série peut se spécialiser en tout z_{0} ∈ V par

S(z_{0}) := ∑_{m∈M}(⟨S|m⟩)|_{z=z_{0}}m  (5)

Séries à coefficients variables (2).

ces spécialisations sont des morphismes de ℂ-AAU

ϵ_{z_{0}} : H⟨⟨M⟩⟩ → ℂ⟨⟨M⟩⟩  (6)

De même, si d est une dérivation de H, la prolongement de d “coefficient par coefficient”

d(S) := ∑_{m∈M}d(⟨S|m⟩)m  (7)

est une dérivation de H⟨⟨M⟩⟩ (le montrer en exercice).

Équation différentielles non commutatives.

Soit V une variété analytique connexe et simplement connexe (par exemple, le plan doublement fendu, ou bien le revêtement universel de ℂ − {0, 1}), H l’espace des fonctions analytiques sur V , M, un monoïde localement fini (on a besoin de ne pas fixer trop tôt le monoïde pour pouvoir “doubler” l’équation de Drinfel’d et H⟨⟨M⟩⟩, l’algèbre des fonctions sur M à coefficients dans H). On continue d’employer les notations de Dirac-Schützenberger (i. e. pour f ∈ H⟨⟨M⟩⟩ et m ∈ M, ⟨f |m⟩ désigne la valeur f (m) i. e. le coefficient de m dans la série f et, pour g ∈ H⟨M⟩, ⟨f |g⟩ := ∑_{m∈M} f (m)g(m))). Soit M, un multiplcateur dans H_{≥1}⟨⟨M⟩⟩.

Équation différentielles non commutatives (suite 2).

On utilisera trois types d’équation différentielle.

a) Équation gauche

\frac{d}{dz}S = MS  (8)

b) Équation droite

\frac{d}{dz}S = SM  (9)

c) Équation bilatère

\frac{d}{dz}S = M_{1}S + SM_{2}  (10)

avec M, M_{i} ∈ H_{≥1}⟨⟨M⟩⟩. On donne d’abord la résolution des équations du type (10) puisque ces propriétés se spécialisent, avec M_{2} = 0 (resp. M_{1} = 0) au type (8) (resp. (9)). Ces équations seront dites primitives si les multiplicateurs le sont.

Équation différentielles non commutatives (suite 3).

Theorem

Dans les conditions précédentes.

i) L’équation (10) admet des solutions toutes de la forme

S = H^{∗}S_{0}  (11)

où H est l’opérateur G ↦ ∫_{z_{0}}^{z} (M_{1}(s)G(s) + G(s)M_{2}(s))ds et S_{0} = S(z_{0}) est une série constante. ii) Deux solutions qui coïncident en un point coïncident partout. iii) On suppose donné Δ, un coproduit à coefficients constants, c’est à dire un morphisme Δ : M → ℂ⟨M⟩ ⊗ ℂ⟨M⟩ et que M_{1}, M_{2} sont des éléments primitifs

Δ(M_{i}) = M_{i} ⊗ 1 + 1 ⊗ M_{i} ; i = 1, 2 .

Alors si S est de type groupe en un point de V , S est du type groupe en tout point z ∈ V .

Suite du théorème

iv) Le terme constant de S est indépendant de z et est celui de S_{0}, en particulier, si une solution est inversible en un point, elle l’est partout (ces solutions seront appellées inversibles).

v) Soient S_{i}; i = 1, 2 des solutions inversibles d’équations primitives de type (8) (resp. (9)) et de multiplicateurs M_{i}; i = 1, 2. Soif F est un filtre sur V (voisinages de 0, de 1, de l’infini etc.) et on suppose que S_{1}, S_{2} sont asymtotiquement équivalentes selon F. Alors si S_{2} est de type groupe, S_{1} est de type groupe également.

Preuve du théorème

i) L’opérateur H vérifie

H(H⟨⟨M⟩⟩) ⊂ H_{≥1}⟨⟨M⟩⟩

d’où H^{n}(H⟨⟨M⟩⟩) ⊂ H_{≥n}⟨⟨M⟩⟩ ce qui entraine que (H^{n})_{n≥0} est sommable. Posons sa somme H^{∗} = ∑_{n≥0} H^{n}. Si S_{0} est une série constante, on a

\frac{d}{dz}(H^{∗}[S_{0}]) = \frac{d}{dz}(I + HH^{∗})[S_{0}] =
\frac{d}{dz}(S_{0}) + \frac{d}{dz}(HH^{∗})[S_{0}] = M_{1}H^{∗}[S_{0}] + H^{∗}[S_{0}]M_{2}  (12)

Preuve du théorème (2)

Inversement, si S est une solution de (10), alors S_{0} = (I − H)[S] est une série constante car \frac{d}{dz}(S_{0}) = \frac{d}{dz}(I − H)[S] = \frac{d}{dz}S − \frac{d}{dz}(H)[S] = M_{1}S + SM_{2} − (M_{1}S + SM_{2}) = 0. De plus S = (I − H)^{−1}[S_{0}] = H^{∗}[S_{0}] et S_{0} = S(z_{0}). ii) Si on considère un point quelconque z_{1} ∈ V , on peut construire l’opérateur H correspondant avec le formule du théorème. De par le définition de H et le (i), on a S = H^{∗}[S(z_{1})] ce qui prouve (ii). iii) Un coproduit à coefficients constants permute avec l’opérateur de dérivation donc, si S est une solution de (10), on a

\frac{d}{dz}(Δ(S)) = Δ(\frac{d}{dz}(S)) = Δ(M_{1}S + SM_{2}) =
Δ(M_{1})Δ(S) + Δ(S)Δ(M_{2})  (13)

ce qui prouve que Δ(S) vérifie une équation différentielle bilatère.

Preuve du théorème (3)

D’autre part, formons l’ED que vérifie S ⊗ S. On a \frac{d}{dz}(S ⊗ S) = \frac{d}{dz}(S) ⊗ S + S ⊗ \frac{d}{dz}(S) = (M_{1}S + SM_{2}) ⊗ S + S ⊗ (M_{1}S + SM_{2}) =

(M_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ M_{1})(S ⊗ S) + (S ⊗ S)(M_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ M_{1}) (14)

Ceci montre que, si M_{1} et M_{2} sont primitifs, Δ(S) et S ⊗ S vérifient la même ED. En vertu de (ii), si S est primitive en un point, elle l’est partout. iv) En effet,

⟨S|ϵ⟩ = ⟨H^{∗}[S_{0}]|ϵ⟩ = ⟨(I + HH^{∗})[S_{0}]|ϵ⟩ =
⟨S_{0}|ϵ⟩ + ⟨HH^{∗}[S_{0}]|ϵ⟩ = ⟨S_{0}|ϵ⟩  (15)

en particulier dire que S est inversible en un point z_{0} c’est dire que ⟨S(z_{0})|ϵ⟩ est un complexe non nul. C’est aussi le terme constant de S(z) en tout point z. v) On fait la démonstration pour des équations de type (8). Pour z_{0} ∈ V , on forme

R(z, z_{0}) = S_{1}(z)S_{1}(z_{0})^{−1}S_{2}(z_{0})S_{2}(z)^{−1} .

R = R(z, z_{0}) vérifie l’équation \frac{d}{dz}R = M_{1}R − RM_{2}, c’est donc une équation primitive. Cette solution vaut R(z_{0}, z_{0}) = 1 (qui est un élément de type groupe), R est de type groupe pour tout z ∈ V . Maintenant z étant fixé, on a

lim_{z_{0}:F}Δ(R(z, z_{0})) =_{(1)}  Δ(lim_{z_{0}:F}(R(z, z_{0})) =
Δ(S_{1}(z)S_{2}(z)^{−1}) =_{(2)}  Δ(S_{1}(z))Δ(S_{2}(z)^{−1}) =_{(3)}
Δ(S_{1}(z))Δ(S_{2}(z))^{−1} =_{(4)} Δ(S_{1}(z))(S_{2}(z)^{−1} ⊗ S_{2}(z))^{−1}) (16)

d’autre part

lim_{z_{0}:F}Δ(R(z, z_{0})) =_{(5)} lim_{z_{0}:F}(R(z, z_{0}) ⊗ R(z, z_{0})) =_{(6)}
S_{1}(z)S_{2}(z)^{−1} ⊗ S_{1}(z)S_{2}(z)^{−1} (17)

en égalant (16) et (17), on obtient Δ(S_{1}(z)) = S_{1}(z) ⊗ S_{1}(z). Ce qui finit de prouver le point (v). Enfin, avec un argument symétrique, la démonstration vaut aussi pour deux équations de type (9).

L’équation de Drinfel’d

Cette équation est un codage commode de l’équation de Drinfel’d à trois singularités [2]. On considère l’équation différentielle

dG(z) = [x_{0}ω_{0}(z) + x_{1}ω_{1}(z)]G(z),  (18)

où {x_{0}, x_{1}} est un alphabet non commutatif. Ici l’anneau des coefficients est l’espace des fonctions holomorphes H = C^{ω}(O; ℂ) où O est ℂ − (] − ∞, 0[∪]1, +∞[) (on pourra aussi considérer pour O, le revêtement univerxel de ℂ − {0, 1}). Les solutions G sont à chercher dans H⟨⟨X ⟩⟩.

L’équation de Drinfel’s (suite-1)

C’estn une équation de type Fuchsien. Ici le multiplicateur est M = \frac{x_{0}}{z} + \frac{x_{1}}{1−z} et l’opérateur H du thèorème général est

H(f ) := x_{0}( ∫_{z_{0}}^{z} \frac{1}{s}f (s)ds) + x_{1}( ∫_{z_{0}}^{z} \frac{1}{1 − s}f (s)ds)  (19)

oú z_{0} ∈ O est un point de base. Ces intégrales sont bien définies (i. e. indépendantes du chemin d’intégration) si l’ouvert (ou la variété dans le cas d’un revêtement universel) est simplement connexe.

L’équation de Drinfel’d (suite-2)

Comme toute solution de (18) est de la forme H^{∗}(G_{0}) = H^{∗}(1).G_{0} avec G_{0} ∈ ℂ⟨⟨X ⟩⟩ (série à coefficients constants), il est avantageux d’avoir le plus possible d’indications sur H^{∗}(1) qui est une série de Chen dont les coefficients sont des intégrales itérées

⟨H^{∗}(1)|w⟩ = ∫_{z_{0}}^{z} … ∫_{z_{0}}^{z_{k−1}} ω_{i_{1}}(t_{1}) … ω_{i_{k}}(t_{k}),  (20)

avec w = x_{i_{1}} ⋯ x_{i_{k}} ∈ X^{∗} et où z_{1} ⋯ z_{k−1} est une subdivision du chemin z_{0} ⇝ z. Comme H^{∗}(1) est la solution de (18) qui est égale à 1 en z_{0}, on a que, pour toute solution inversible^{2} T on a

H^{∗}(1)(z) = T (z)T (z_{0})^{−1}  (21)

2On peut montrer facilement que si une solution est inversible en un point elle l’est partout.

L’équation de Drinfel’d (suite-3)

La série H^{∗}(1) s’appelle la série de Chen (par rapport aux deux formes différentielles) et on la note S_{z_{0}⇝z}. L’équation (21) donne aussitôt la relation

S_{z_{0}⇝z_{2}} = S_{z_{1}⇝z_{2}}S_{z_{0}⇝z_{1}}.  (22)

On peut obtenir d’autres solutions de (18) en prenant deux points de base u_{0}, u_{1} ∈ O et l’opérateur

H(f ) := x_{0}( ∫_{u_{0}}^{z} \frac{1}{s}f (s)ds) + x_{1}( ∫_{u_{1}}^{z} \frac{1}{1 − s}f (s)ds)  (23)

ou même des points limite. C’est ce point de vue qui va s’avérer fructueux comme outil de démonstration.

Bibliographie

Bourbaki N., Algèbre, Ch I à III, Springer (2006).

Duchamp G. H. E., Hoang Ngoc Minh, Solomon A. I., Goodenough S., An interface between physics and number theory, Proceedings of the XXVIII International Colloquium on Group-Theoretical Methods in Physics, Newcastle 26-30 July 2010.

http:\\arxiv.org\abs\1011.0523

Hoang Ngoc Minh, On a conjecture by Pierre Cartier,

http:\\arxiv.org\abs\0910.1932

Lothaire M., Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics, Vol. 17, Addison-Wesley (1983).