Résumé : On considère la famille des polynômes \(P_m(X)\in {\mathbb Q}[X]\) donnée par $$\prod_{m\ge 1} (1-q^m)^{-z}=\sum_{m\ge 0} P_m(z) q^m.$$ Ces polynômes ont des connexions profondes avec la théorie des nombres (pour les partitions d'entiers) et avec la fonction \(\tau\) de Ramanujan. Ils sont apparus pour la première fois dans le travail de Newman de 1955, et ont été utilisé par Serre dans son travail de 1985 sur la lacunarité des puissances de la fonction \(\eta\) de Dedeking. Ils peuvent être donnés aussi par \(P_0(X)=1\) et $$P_m(X)=\frac{X}{m}\left(\sum_{k=1}^m \sigma(k) P_{m-k}(X)\right)\qquad {\text{ pour}}\qquad m\ge 1.$$ Il est facile de voir que \(P_m(X)\) n'a aucune racine positive. De plus, par la formule pentagonale d'Euler, on déduit que \(X+1\mid P_m(X)\) pour un nombre infini de \(m\). On se pose la question de savoir si \(P_m(X)\) peut avoir comme zéro d'autres racines de l'unité différentes de \(-1\). On montre que cela n'est jamais le cas, c'est-à-dire que si \(\zeta\) est une racine d'unité d'ordre \(N\ge 3\) et \(m\ge 1\), alors \(P_m(\zeta)\ne 0\). La preuve utilise des resultats classiques sur les corps finis, et un petit peu de théorie analytique des nombres.

Dernière modification : Monday 18 March 2024

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