Résumé : En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtas sous leur aspect combinatoire, nous introduisons d'abord la définition d'un produit entre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits de mélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètes d'algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité, contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicites sur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sont indexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale. De cette façon, en identifiant les coordonnées locales, nous trouvons des relations polynomiales homogènes, en poids, entre les polyzêtas indexés par ces bases. Enfin, nous déterminons les développements asymptotiques des sommes harmoniques, indexées aussi par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d'Euler Maclaurin. Pour accompagner cette étude théorique, nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, la structure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques.

Le jury sera composé de Gérard Duchamp, Hoang Ngoc Minh, (co-directeurs), Jacky Cressson, Loïc Foissy, (rapporteurs), Sylvie Paycha, Joris van der Hoeven, Daniel Barsky, Christophe Tollu (examinateurs).

Dernière modification : Monday 18 March 2024

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