Prolégomènes

Ce mémoire a pour but d'éclairer divers liens entre la notion de résidu quadratique et de nombreux pans de la théorie des nombres (au sens large, cela va de la théorie additive, multiplicative des nombres - l'arithmétique - à la théorie algébrique des nombres en passant par la théorie analytique des nombres et en poussant jusqu'à la théorie des corps de classes). On aura ainsi un aperçu de la profondeur de la notion de résidu, tout en oscillant souvent entre prospective et épistémologie, entre démonstration et digression. On verra aussi quelques applications industrielles (traduire : algorithmiques).

Toutefois, pour des raisons de limitation (du nombre de pages et des connaissances de l'auteur), bien souvent, seuls les résultats sont cités, les démonstrations se trouvant dans les livres cités dans la bibliographie ou dans les articles cités dans ce mémoire. Cependant, un résultat aussi puissant que la loi de réciprocité d'Artin n'est même pas démontré dans l'ardu Corps locaux de J.P. Serre, qui renvoie à un livre de théorie des corps de classes. On trouvera dans nos pages quelques autres rouleaux compresseurs. Néanmoins, divers résultats d'arithmétiques seront démontrés aux chapitres 2 et 3, dont last but not least la loi de réciprocité quadratique, serpent de mer de ce TER. Nous espérons que le lecteur aura autant de plaisir que nous à se promener à travers les notions qui nous ont été offertes par deux siècles d'algèbre, voire d'analyse. Et maintenant, commençons à ouvrir nos horizons en définissant le champ de bataille.