Une démonstration exprès

Les plus courtes étant souvent les meilleures, voici une preuve ``exprès'' de la loi de réciprocité pour le symbole de Legendre, d'après G. Rousseau dans On the quadratic reciprocity law, Australian Mathematical Society, 3 (1991) :
considérons le groupe quotient multiplicatif $G=\Big((Z/p{\mathbb Z})^* \times (Z/q{\mathbb Z})^*\Big)/U$,où $U=\{\pm(1,1)\}$. Le produit m de tous les éléments de G est

$$m=\prod\sp {p-1}\sb {i=1}\prod\sp \frac{q-1}{2}\sb {j=1}(i,j... ...frac{p-1}{2} (-1)\sp {\frac{p-1}{ 2} \frac{q-1}{ 2}} \right)U.$$

D'après le théorème chinois, m est aussi égal à

$$\prod _{\substack{1 \leq k\leq \frac{pq-1}{2} \\ pgcd(k,pq)=1}} (k,k)U,$$

donc, d'après le critère d'Euler,

$$m=\left( (p-1) !^\frac{q-1}{ 2} \left(\frac{q}{p}\right), (q-1) !^\frac{p-1}{ 2} \left(\frac{p}{q}\right) \right)U.$$

La loi s'obtient en comparant les expressions pour m.

Des preuves encore plus élémentaire ont été données, cf. J.S. Frame [Amer. Math. Monthly 85 (1978), 10, 818-819], mais la preuve précédente est l'une des plus simples à retenir. La loi de réciprocité et la formule $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^\frac{p-1}{ 2}$(un cas spécial du critère d'Euler) sont facilement étendues par multiplicativité au symbole de Jacobi pour tous p,q>1 impairs.
La loi complémentaire pour $\left(\frac{2}{p}\right)$ peut être simplement déduite du théorème : on écrit p=4k+e avec $e=\pm 1$, $k\geq 1$.Remarquons alors que a=(p+e)/2 est impair donc

$$\left(\frac{2e}{p}\right)=\left(\frac{2e+2p}{p}\right)=\left... ...\right)=\left(\frac{2ea-1}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right).$$

Ainsi

$$\left(\frac{2}{p}\right) = \left(\frac{e}{p}\right) \left(\frac{-1}{a}\right) =(-1)^k=(-1)^{(p\sp 2-1)/8}.$$