Tertio

Cette démonstration est aussi celle qui figure dans La loi de réciprocité quadratique, Revue de Mathématiques Spéciales, mars 1990 par P. Delezoide. Ce dernier en profite d'ailleurs pour faire quelques remarques d'ordre géométrique qui figurent également dans [Hardy]. On note $J^p_q=\prod^{p'}_{h=1} \prod^{q'}_{k=1} \frac{hq-kp}{\vert hq-kp\vert}$.Notons que J^p_q est bien défini puisque pour tout $(h,k), hq-kp \not = 0$. Fixons k. Alors dire que $hq-kp \leq 0$ revient à dire $1 \leq h \leq kp/q$. Il y a donc E(kp/q) valeurs de h pour lesquelles $hq-kp \leq 0$. Ainsi $J^p_q=\prod^{q'}_{k=1} (- 1)^{E(kp/q)}$.En passant modulo 2 la relation du primo, on obtient $k \equiv E(kp/q)+e_k+r_k\ [2]$.Donc $J^p_q=\prod^{q'}_{k=1} (-1)^{k-r_k+e_k}= (-1)^{(\sum^{q'}_{k=1} k) - (\sum^{q'}_{k=1} r_k) +(\sum^{q'}_{k=1} e_k)}$.Or $(\sum^{q'}_{k=1} k) - (\sum^{q'}_{k=1} r_k=0)$ d'après le secundo. Il en résulte $J^p_q =\prod^{q'}_{k=1} (-1)^{e_k}$. La relation du primo donne $kp \equiv (-1)^{e_k} r_k\ [q]$.Donc $J^p_q \equiv \prod^{q'}_{k=1} \frac{kp}{r_k} \underbrace{\equiv}_{secundo} p^{q'} \equiv \left(\frac{p}{q}\right)\ [q]$.Comme $J^p_q \in \{\pm 1\}$, on a bien $J^p_q =(\frac{p}{q})$.