Calcul de $\left(\frac{5}{p}\right)$

p, car premier > 5, est de la forme 10n+k où k vaut 1,3,7 ou 9. Nous appliquons alors la loi de réciprocité quadratique :

$$\left(\frac{5}{p}\right)= \left(\frac{p}{5}\right) (-1)^{\fr... ...{2}}= \left(\frac{10n+k}{5}\right)= \left(\frac{k}{5}\right) .$$

Or dans $({\mathbb Z}/5{\mathbb Z})^*$, les seuls carrés sont 1 et 4, d'où $\left(\frac{k}{5}\right)=1$ pour k=1,9 et $\left(\frac{k}{5}\right)=-1$ pour k=3,7.

En résumé : 5 est un carré modulo $p \Longleftrightarrow p=10n \pm 1$.

On montre également : 7 est un carré modulo $p \Longleftrightarrow p \equiv \pm 1, \pm 3, \pm 9 \ [28]$.

Avec ces quelques résultats et la bimultiplicativité du symbole de Jacobi, il vous est désormais possible de calculer très rapidement $\left(\frac{a}{b}\right)$. Par exemple, $\left(\frac{3}{p}\right)$ peut s'obtenir comme combinaison des résultats précédents sur $\left(\frac{-1}{p}\right)$et $\left(\frac{-3}{p}\right)$, on obtient ainsi :
3 est un carré modulo $p \Longleftrightarrow p=12n \pm 1$.