Savez-vous compter les résidus...

Ce paragraphe et les suivants sont directement recopiés sur [Francinou], ces derniers étant eux-mêmes parfois directement repiqués sur [Hardy]...Mais puisque ni une démonstration ni une mise en page ne peut être copyrightée, n'ayons pas d'état d'âme et saluons ainsi ces deux ouvrages de références, quoiqu'aux ambitions différentes.

Soit $p\geq 3$ un nombre premier (notation conservée dans TOUT ce chapitre). $f~: x \in ({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^* \mapsto x^2$ est un endomorphisme du groupe multiplicatif du corps ${\mathbb F}_p={\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$.Son noyau est {-1, +1}, les racines de X²-1. Le noyau étant de cardinal 2, l'image de f est de cardinal Card(${\mathbb F}_p^*$)/Card($\textrm{Ker}f$)$=\frac{p-1}{2}$. Il y a donc $\frac{p-1}{2}$ carrés dans $({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$. 0 étant aussi un carré, ${\mathbb F}_p$ contient $\frac{p+1}{2}$ carrés.