Description
Le titre complet du projet QuasiCool est "Refroidissement des quasicristaux : des pavages aléatoires aux pavages apériodiques". C'est un projet de quatre ans (prolongé en cinq), débutant en janvier 2013, regroupant des chercheurs en combinatoire, théorie des probabilités et des systèmes dynamiques. Le but de ce projet est de comprendre d'un point de vue théorique, plus précisément en termes de pavages, la structure et la croissance des quasicristaux.
Les quasicristaux sont des matériaux apériodiques mais ordonnés, découverts en 1982 par Dan Shechtman (ce qui lui a valu le prix Nobel de chimie en 2011). Ils sont aujourd'hui généralement obtenus (comme les cristaux) par refroidissement lent d'un alliage en fusion. D'un point de vue théorique, le problème est de comprendre quelles structures quasicristallines peuvent être obtenues, de sorte à obtenir une classification analogue à celle de Bravais-Fedorov pour les structures cristallines.
Les pavages sont des recouvrements d'un espace par des compacts disjoints appelés tuiles. Au début des années 60, on découvrit que certains pavages apériodiques du plan pouvaient être complètement caractérisés uniquement pas la façon dont leurs tuiles pouvaient s'agencer, c'est-à-dire par des contraintes locales. Le lien avec les quasicristaux fut rapidement fait après la découverte de ces derniers, les contraintes locales modélisant les interactions énergétiques à courte portée. Cependant, l'existence de pavages apériodiques ne garantit pas que ceux-ci puissent être facilement obtenus. Ceci conduisit à étudier un modèle des quasicristaux alternatif : les pavages aléatoires. Les limites de ce modèle sont cependant apparues récemment, car certains quasicristaux ressemblent beaucoup plus à des pavages apériodiques qu'à des pavages aléatoires.
C'est ici que notre projet intervient. Nous modélisons le refroidissement des quasicristaux par un processus où des transformations locales - des flips - sont faites aléatoirement sur un pavage initial aléatoire, un flip étant d'autant plus probable que, localement, le pavage obtenu semble plus proche d'un pavage apériodique. Déterminer la vitesse de convergence - et donc le réalisme - de ce processus est un objectif majeur de notre projet. Les deux autres objectifs principaux y sont fortement liés : classifier les pavages apériodiques (la "cible" de notre processus) est comprendre les propriétés typiques des pavages aléatoires (le point de départ de notre processus).
Participants
- Florent Becker, LIFO, Orléans
- Nicolas Bédaride, LATP, Marseille
- Olivier Bodini, LIPN, Villetaneuse
- Thomas Fernique, LIPN, Villetaneuse
- Johan Nilsson, LIPN, Villetaneuse (post-doctorant entre décembre 2014 et décembre 2016)
- Damien Regnault, IBISC, Évry
- Éric Rémila, IXXI, Lyon
- Mathieu Sablik, LATP, Marseille
- Alexandra Ugolnikova, LIPN, Villetaneuse (doctorante entre décembre 2013 et décembre 2016)
Publications
Revues
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N. Bédaride and Th. Fernique, The Ammann-Beenker tilings revisited, in Aperiodic Crystals S. Schmid, R. L. Withers, R. Lifshitz eds. (2013), pp. 59-65.
- K. Perrot and E. Rémila, Kadanoff sand pile model. Avalanche structure and wave shape, Theoretical Computer Science 504 (2013), pp. 52-72.
- N. Aubrun and M. Sablik, Multidimensional effective S-adic systems are sofic, Uniform Distribution Theory 9 (2014), pp. 7-29.
- L. Boyer, M. Delacourt, V. Poupet, M. Sablik and G. Theysier. μ-limit sets of Cellular Automata from a Computational Complexity Perspective, Journal of Computer and System Sciences 81 (2015), pp. 1623-1647.
- N. Bédaride and Th. Fernique, When periodicities enforce aperiodicity, Communications in Mathematical Physics 335 (2015), pp. 1099-1120.
- N. Bédaride and T. Fernique, No weak local rules for the 4p-fold tilings, Discrete and Computational Geometry 54 (2015), pp. 980-992.
- K. Perrot and E. Rémila. Piles de sable décroissantes 1D. Classification expérimentale d'émergences, Technique et Science Informatiques 34 (2015), pp. 377-400.
- N. Rolin and A. Ugolnikova, Tilings by 1x1 and 2x2 squares, RAIRO-Theor. Inf. Appl. 50 (2016), pp. 105-116.
- N. Bédaride and Th. Fernique, Weak local rules for planar octagonal tilings, Israel Journal of Mathematics 222 (2017), pp. 63-89.
- J. Nilsson, On Counting the Number of Tilings of a Rectangle with Squares of Size 1 and 2, Journal of Integer Sequences 20 (2017)
- B. Hellouin de Menibus and M. Sablik, Self-organisation in cellular automata with coalescent particles : qualitative and quantitative approches, Journal of statistical physics 167 (2017) pp. 1180-1220.
- N. Aubrun, S. Barbieri and M. Sablik. A notion of effectiveness for subshifts on finitely generated groups, Theoretical Computer Science 661 (2017), pp. 35-55.
- B. Hellouin de Menibus and M. Sablik, Characterisation of sets of limit measures after iteration of a cellular automaton on an initial measure, to appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems
- E. Formenti, K. Perrot and E. Rémila. Computational complexity of the avalanche problem for one dimensional decreasing sandpiles, to appear in Journal of Cellular Automata
- K. Perrot and E. Rémila. Strong Emergence of Wave Patterns on Kadanoff Sandpiles, European journal of Combinatorics 24 (2017), pp. 1-30.
- Th. Fernique and M. Sablik, Weak colored local rules for planar tilings, to appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems
- N. Bédaride, A. Hilion and T. Jolivet, Topological substitutions and Rauzy fractals, to appear in Bulletin de la SMF
- D. Regnault, E. Rémila, Lost in Self-Stabilization,: a Local Process that Aligns Connected Cells, to appear in Theoretical Computer Science
- S. Barbieri and M. Sablik, A generalisation of the simulation theorem for semidirect products, to appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems
Actes de conférences
- T. Melliti, D. Regnault, A. Richard and S. Sené, On the convergence of Boolean automata networks without negative cycles, AUTOMATA 2013
- D. Regnault, Proof of a phase transition in probabilistic cellular automata, DLT 2013
- K. Perrot and E. Rémila. Emergence of wave patterns on Kadanoff Sandpiles, LATIN 2014
- E. Formenti, K. Perrot and E. Remila Computational complexity of the avalanche problem on one dimensional Kadanoff sandpiles; AUTOMATA 2014
- F. Becker, A. Fernandez Anta, I. Rapaport and E. Rémila, A Hierarchy of congested clique models, from broadcast to unicast, PODC 2015
- D. Regnault and E. Rémila, Lost in self-stabilization, MFCS 2015
- K. Perrot and E. Rémila. Emergence on decreasing sandpile models, MFCS 2015
- O. Bodini, J. Lumbroso and N. Rolin Analytic Samplers and the Combinatorial Rejection Method, AnAlCo 2015
- F. Becker, A. Fernandez Anta, I. Rapaport and E. Rémila,The effect of range and bandwidth on the round complexity in the congested clique model, COCOON 2016
- V. Berthé, Th. Fernique and M. Sablik, Effective S-adic symbolic dynamical systems, CiE 2016
- S. Barbieri and M. Sablik. The domino problem for self-similar structures, CiE 2016
- M. Sablik and M. Schraudner, Algorithmic optimization for the realization of an effective subshift by a sofic, ICALP 2016
Soumis